Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Hình học Lớp 9 nâng cao (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 9 nâng cao (Có lời giải)
- Bài hình khó của giangtienhai từ lâu chưa giải đáp Đề bài: Cho tam giác ABC cò 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ EG vuông góc với OA tại G. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BE và CF. Chứng minh: IK là trung trực của đoạn thẳng DG. Yêu cầu: Giải bài toán trên bằng kiến thức THCS Hướng dẫn giải Cách 1 Gọi M là điểm đối xứng E qua G, N là điểm đối xứng B qua D. Vẽ tia tiếp tuyến Ax tại A của đường tròn (O) => AM = AE và AB = AN Dễ thấy tứ giác BFEC nội tiếp nên chứng minh được Góc BAx = góc ACB = góc AFE => Ax // EF (2 góc ở vị trí sole trong) mà OA _|_ Ax nên EF _|_ OA mà OA _|_ EG nên 3 điểm E, G, F thẳng hàng. Từ từ giác BFEC nội tiếp dễ thấy góc ABC = góc AEF => Dễ dàng chứng minh được góc GAE = góc BAD => góc EAM = góc BAN => góc EAG = góc BAM. Kết hợp với AM = AE và AB = AN => (c – g – c) => BM = EN
- Dễ thấy GI là đường trung bình của tam giác BME => BM = 2IG. Tương tự DI là đường trung bình tam giác BEN => EN = 2DI. Mà BM = EN => ID = IG Chứng minh tương tự hoàn toàn như ban đầu ta cũng có KD = KG. Từ ID = IG và KD = KG => IK là đường trung trực của đoạn thẳng DG Cách 2: Chứng minh phức tạp và dài dòng hơn rất nhiều Cho AG cắt BC tại T, AD cắt EF tại S. Gọi N, M, P, Q lần lượt là hình chiếu của E, S, T, B trên đường thẳng DG. Kẻ DV vuông góc với BE tại V. Kẻ tia tiếp tuyến Ax tại A của đường tròn (O). Dễ thấy tứ giác BFEC nội tiếp nên chứng minh được Góc BAx = góc ACB = góc AFE => Ax // EF (2 góc ở vị trí sole trong) mà OA _|_ Ax nên EF _|_ OA mà OA _|_ EG nên 3 điểm E, G, F thẳng hàng. Các tam giác DST và SGT vuông nên theo định lý pitago ta có SD2 + DT2 = ST2 = SG2 + GT2 => SD2 – SG2 = GT2 – DT2 Từ SM và TP cùng vuông góc với DG. Áp dụng liên tiếp định lý pitago ta có (SM2 + MD2) – (SM2 + MG2) = (PT2 + PG2) – (PT2 + DP2) MD2 – MG2 = PG2 – PD2 (MD – MG)(MD + MG) = (PG – PD)(PG + PD) (MD – MG).DG = (PG – PD).DG MD – MG = PG – PD (DG – MG) – MG = ( DG – PD) – PD MG = DP.
- Dễ dàng chứng minh được (g - g) => (g - g) => . Lấy 2 đẳng thức nhân nhau vế theo vế Ta suy ra . Dễ thấy NE // MS và BQ // PT. Áp dụng định lí talet . Mà MG = DP => NG = DQ. Từ NE và BQ cùng vuông góc với DG. Áp dụng liên tiếp định lý pitago BG2 – BD2 = (QG2 + BQ2) – (DQ2 + BQ2) = QG2 – DQ2 = (DQ + DG)2 – DQ2 DE2 – EG2 = (DN2 + NE2) – (NG2 + NE2) = DN2 – NG2 = (NG + DG)2 – NG2 Mà DQ = NG => BG2 – BD2 = DE2 – EG2 BG2 + EG2 = DE2 + BD2 Từ DV vuông góc với BE ta có DE2 + BD2 = (BV2 + DV2) + ( EV2 + DV2) = 2DV2 + BV2 +EV2 = 2DV2 +(BV + EV)2 – 2BV.EV = 2DV2 + BE2 – 2.(BI – IV).(IE + IV) = = = = Vậy DE2 + BD2 = 2DI2 + Lập luận tương tự ta cũng có BG2 + EG2 = 2IG2 + Mà BG2 + EG2 = DE2 + BD2 => ID = IG Chứng minh tương tự hoàn toàn như ban đầu ta cũng có KD = KG. Từ ID = IG và KD = KG => IK là đường trung trực của đoạn thẳng DG
- Nhận xét Đây quả là một bài toán rất khó. Tuy nhiên, cái khó của bài toán này chính là việc chọn điểm phụ hợp lý. Nếu chọn điểm phụ phù hợp sẽ cho cách giải rất nhanh chóng chính là cách 1. Ngược lại với cách 2 sử dụng cách chứng minh phức tạp Ở cách 2 hầu như nhìn vào bài toán này với công cụ trợ giúp là định lý pitago, định lý talet và tam giác đồng dạng. Việc chứng minh ID = IG thật sự không đơn giản nếu như không kẻ thêm một đường phụ nào. Tuy nhiên nó lại rất dễ với cách 1. Nhưng lại rất khó đối với cách 2 bởi vì nếu như sử dụng được công thức đường trung tuyến thì hệ thức BG2 + EG2 = DE2 + BD2 cũng rất khó để chứng minh. Chứng minh hệ thức này có thể suy ra từ các tam giác đồng dạng nhưng sẽ đưa về các dạng lượng giác 3 góc A, B, C trong tam giác ABC. Kiến thức này ở phổ thông mới học và sử dụng
Trên đây, chúng tôi vừa giới thiệu xong các bài toán hình ôn thi vào lớp 10 có đáp án chi tiết. Lưu ý, để lấy được điểm trung bình các em cần phải làm kĩ dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp vì đây là dạng toán chắc chắn sẽ gặp trong mọi đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán. Các câu còn lại sẽ là những bài tập liên quan đến các tính chất khác về cạnh và góc trong hình hoặc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn. Một yêu cầu nữa là các em cần phải rèn luyện kĩ năng vẽ hình, đặc biệt là vẽ đường tròn vì trong cấu trúc đề thi nếu hình vẽ sai thì bài làm sẽ không được điểm. Các bài tập trên đây chúng tôi chọn lọc đều chứa những dạng toán thường gặp trong các đề thi cả nước nên cực kì thích hợp để các em tự ôn tập trong thời điểm này. Hy vọng, với những bài toán hình này, các em học sinh lớp 9 sẽ ôn tập thật tốt để đạt kết quả cao trong kì thi vào 10 sắp tới. Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại (zalo ): 0393.732.038 Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ) Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm Email: [email protected] Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC Website: http://tailieumontoan.com | 
