Biện luận dấu các nghiệm của phương trình

Giải và biện luận phương trình bậc hai là biện luận theo tham số cho trước số nghiệm của một phương trình bậc hai.

Giải và biện luận phương trình bậc hai là dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của các trường, thành phố, tỉnh trên toàn quốc. Dạng bài này thường xuất hiện ở bài số 3 ý số hai cùng với bài giải phương trình hệ số hằng. Dạng toán này thường kết hợp với một ý ví dụ như xét dấu các nghiệm, hoặc tìm tham số \(m\) để các nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.... làm thành một câu chiếm 0,5 điểm của bài thi. 

Đây là dạng toán mức độ tương đối khó, yêu cầu học sinh cần phải có kiến thức vững về định nghĩa phương trình bậc hai, các trường hợp có nghiệm của phương trình bậc hai. Học sinh muốn đạt mức điểm từ 6 đến 7 thì cần thiết phải tốt dạng toán này.

Trong một đề thi tốt nhất ta nên trình bày và giải bài toán này trong tối đa 10 phút.

Phương pháp giải:

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 \) với \(a\ne 0\)

Tìm điều kiện tham số sao cho:

Dạng 1. Phương trình vô nghiệm điều kiện là: \(\Delta <0\) (hoặc \(\Delta'<0\)).

Dạng 2. Phương trình có nghiệm, điều kiện là: \(\Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta'\ge 0 \)).

Dạng 3. Phương trình có nghiệm kép, điều kiện là: \(\Delta=0\) (hoặc \(\Delta'=0\)).

Dạng 4. Phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là: \(\Delta >0\) (hoặc \(\Delta'>0 \)).

Chú ý:

Trong trường hợp hệ số \(a\) có chứa tham số, chúng ta cần xét hai trường hợp (với \(a=0\) và với \(a\ne 0\) ), khi đó:

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, bao gồm:

1.1. Điều kiện để phương trình là một phương trình bậc hai: \(a\ne 0\).

1.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, tương ứng \( \Delta >0\).

Do đó ta có hệ điều kiện là \( \left\{\begin{array}{ll} a\ne 0\\ \Delta >0 \end{array}\right. \)

2. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép bao gồm:

2.1. Điều kiện để phương trình là một phương trình bậc hai: \(a\ne 0\).

2.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép, tương ứng \(\Delta=0 \).

Do đó ta có hệ điều kiện là: \( \left\{\begin{array}{ll}a\ne 0\\ \Delta =0\end{array}\right.\)

Các lỗi sai thường gặp

- Khi xét một phương trình dạng \( ax^2+bx+c= 0 \), trong đó hệ số \(a\) có chứa tham số, học sinh thường quên xét điều kiện \(a\ne 0\). 

- Điều kiện để phương trình có nghiệm khác với điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt. Cụ thể: 

Phương trình có nghiệm thì điều kiện là : \( \Delta \ge 0 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì điều kiện là \( \Delta>0 \)

Ví dụ minh họa:

Cho phương trình bậc hai ẩn \(x\), tham số \(m\):  \(x^2+2mx+4m-3=0\).

Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Do hệ số \(x^2\) là \(1\ne 0\) nên bài toán này thuộc dạng 4. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là: \(\Delta' >0\).

Ta có \(\Delta'=m^2-1(4m-3)=m^2-4m+3\).

Để giải bất phương trình \(\Delta' >0 \) việc đầu tiên ta nên nghĩ đến là phân tích \(\Delta'\) thành nhân tử.

Thật vậy \(\Delta'=m^2-4m+3=(m^2-m)-(3m-3)=m(m-1)-3(m-1)=(m-1)(m-3) \).

Xét bất phương trình \( \Delta' <0 \Leftrightarrow (m-1)(m-3)<0 \)

Ta coi \(m-1,\,m-3\) là hai số thực, tích lớn hơn \(0\) khi và chỉ khi hai số cùng dấu.

 Do đó có các trường hợp:

Trường hợp 1: 

\( \left\{\begin{array}{ll}m-1<0\\m-3<0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}m<1\\m<3\end{array}\right. \Leftrightarrow m<1 \)

\( \left\{\begin{array}{ll}m-1>0\\m-3>0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}m>1\\m>3\end{array}\right. \Leftrightarrow m>3 \)

Do đó điều kiện để để \(\Delta' >0\) hay phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(m<1\) hoặc \(m>3\)

I. Tóm tắt lý thuyết

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình (m2 - 7m + 6)x + m2 - 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x - 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có (m2 - 7m + 6)x + m2 - 1 = 0 ⇔ (m-1)(m-6)x + (m-1)(m+1) = 0

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 (Vô lí). Khi đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m - 4)x = m - 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

B. Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

- Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b2 - 4ac. Khi đó:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm (kép): x = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Lưu ý:

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm 

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất 

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình (m–1)x2 + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Hướng dẫn:

Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3

Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4(m-1) = 4m + 5

Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0

Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm

Bài 2: Phương trình (x2 - 3x + m)(x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Hướng dẫn:

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Tham khảo các bài học khác