Định nghĩa dạng song tuyến đối xứng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN -----------            ĐẶNG THỊ HOA           DẠNG SONG TUYẾN TÍNH   KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học                   HÀ NỘI – 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ------------          ĐẶNG THỊ HOA           DẠNG SONG TUYẾN TÍNH     KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học     Người hướng dẫn khoa học THS. ĐINH THỊ KIM THÚY         HÀ NỘI – 2012   LỜI CẢM ƠN   Em xin cảm ơn thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ  Hình học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện  giúp đỡ em  hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.  Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths. Đinh Thị Kim Thúy, người  đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo và truyền đạt kinh nghiệm cho em trong suốt  quá trình nghiên cứu khóa luận.  Do lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học nên đề tài khóa luận  của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong được sự chỉ  bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được  hoàn thiện hơn.  Em xin chân thành cảm ơn!   Hà Nội, tháng 05 năm 2012. SINH VIÊN Đặng Thị Hoa LỜI CAM ĐOAN   Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ chỉ bảo, tận tình của cô  hướng dẫn, em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận tốt nghiệp của em. Em  xin cam  đoan bài khóa luận trên là do bản thân em nghiên  cứu  cùng  với sự  giúp đỡ của cô giáo hướng dẫn mà có và không sao chép từ bất cứ tài liệu có  sẵn nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.    Hà Nội, tháng 05 năm 2012. SINH VIÊN Đặng Thị Hoa MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1  NỘI DUNG.................................................................................................... 3  Chương 1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH ...................................................... 3  1.1. Định nghĩa, ví dụ..................................................................................... 3  1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên................... 5  1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính   .......................................................... 6  1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính ............................................................ 8  1.5. Hạng của dạng song tuyến tính.............................................................. 10  1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai  cơ sở khác nhau............................................................................................ 11  1.7. Dạng toàn phương  ................................................................................ 13  Bài tập chương 1 .......................................................................................... 19  Chương 2. DẠNG HERMITE ...................................................................... 26  2.1. Dạng song tuyến tính liên hợp ............................................................... 26  2.1.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 26  2.1.2. Sự xác định định dạng song tuyến tính liên hợp ................................. 27  2.1.3. Ma trận của dạng song tuyến tính liên hợp ......................................... 29  2.1.4. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên hợp  đối với hai cơ sở khác nhau. ......................................................................... 29  2.1.5. Dạng toàn phương liên hợp ................................................................ 30  2.2. Dạng Hermite ........................................................................................ 31  2.2.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 31  2.2.2. Sự xác định dạng Hermite .................................................................. 32  2.2.3. Ma trận của dạng Hermite .................................................................. 32  2.2.4. Mối liên hệ giữa dạng song tuyến tính liên hợp trên không gian unita và  dạng  Hermite............................................................................................... 34  2.2.5. Giới thiệu về dạng toàn phương Hermite ............................................ 34                     Bài tập chương 2 .......................................................................................... 37                     KẾT LUẬN.................................................................................................. 41  TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 42                         1    MỞ ĐẦU   1. Lý do chọn đề tài Có thể nói, đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toán  nói  chung,  Đại  số  tuyến  tính  là  một  môn  khoa  học  quan  trọng  vì  nó  là  nền  tảng của nhiều môn toán như: Hình học Aphin, Hình học Ơclit, Hình học vi  phân.....  Cấu trúc không gian vectơ cho phép diễn đạt các khái niệm như độc  lập  tuyến  tính  và  phụ  thuộc  tuyến  tính,  tập  sinh,  hạng,  cơ  sở  và  tọa  độ,  không gian con k chiều (đường thẳng, mặt phẳng)…Tuy nhiên cấu trúc này  chưa cho phép nói đến các khái niệm mang nội dung hình học nhiều hơn như  độ  dài  vectơ  và  góc  giữa  hai  vectơ…Để  diễn  đạt  những  khái  niệm  này,  người ta  cần cấu  trúc  không  gian vectơ Euclid.  Chính vì thế  ta  cần  nghiên  cứu và tìm hiểu sâu hơn về dạng song tuyến tính. Do đó em đã chọn đề tài:  “Dạng song tuyến tính”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về dạng song tuyến tính.   3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu       Đối tượng  nghiên  cứu là đại số tuyến  tính,  cụ  thể là  dạng  song tuyến  tính.  Phạm  vi  nghiên  cứu  là  tất  cả  tài  liệu  liên  quan  đến  dạng  song  tuyến  tính.  4. Phương pháp nghiên cứu. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu có  liên quan…    5. Nội dung của khóa luận   Nội dung của khóa luận gồm có hai chương chính như sau:        Chương 1. Dạng song tuyến tính        2              Nội dung của chương 1 xoay quanh 2 vấn đề chính:         Định nghĩa dạng song tuyến tính và các khái niệm, các định lí liên quan  đến dạng song tuyến tính nhằm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về vấn đề mà chúng  ta đang nghiên cứu.        Định  nghĩa  dạng  toàn phương và các khái  niệm,  các  định  lí của dạng  toàn  phương,  phương  pháp  Lagrange  đưa  dạng  toàn  phương  về  dạng  chính  tắc.       Chương 2. Dạng Hermite       Nội dung của chương 2 đi vào tìm hiểu dạng song tuyến trong không  gian vectơ phức trong đó xoay quanh 2 vấn đề chính:      Trình  bày  các  định  nghĩa,  định  lí  liên  quan  đến  dạng  song  tuyến  tính  liên hợp.      Định nghĩa dạng Hermite (dạng song tuyến tính liên hợp đối xứng) và  các khái niệm liên quan đến dạng Hermite.                                      3    NỘI DUNG Chương 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1. Định nghĩa, ví dụ Cho V và W là hai không gian vectơ trên trường K. Định nghĩa         Ánh xạ  f : V  W  K được gọi là  một dạng song tuyến tính trên  V  W   nếu  nó  thỏa  mãn  các  điều  kiện  sau  với  mọi  x, x  V , y, y  W và  ,  K :   (I) (II) f (x  x, y)  f (x, y)  f (x, y), f (x, y)  f (x, y)   f (x, y  y)  f (x, y)  f (x, y), f (x, y)  f (x, y) Nói cách khác khi cố định một biến thì f là dạng tuyến tính đối với biến  còn lại. Dạng song tuyến tính trên V  V còn được gọi là dạng song tuyến tính  trên V.  Ví dụ 1.  a) Nếu g là một dạng tuyến tính trên V và h là một dạng tuyến tính trên  W, thì f(x, y) = g(x).h(y) với mọi  x  V, y  W  là một dạng song tuyến tính  trên  V  W . Chẳng hạn khi  V  K 2  và  W  K 3 , thì   f (x, y)  (x1  x 2 )(y1  2y 2  3y3 )   là một dạng song tuyến tính trên  K 2  K 3.   Thật vậy, đặt   g(x)  x1  x 2 , x  x1, x 2   K 2                    h(y)  y1  2y2  3y3 , y  y1, y 2 , y3   K 3   Vì  g(x) là một dạng tuyến tính trên  K 2 nên  f (x, y) thỏa mãn (I)        4    Vì  h(y) là một dạng tuyến tính trên  K 3 nên  f (x, y) thỏa mãn (II)  Suy ra f(x, y) thỏa mãn các điều kiện của một dạng song tuyến tính.   Vậy f là một dạng song tuyến tính trên  K 2  K 3.   b) Ánh xạ  f : K 2  K 2  K cho bởi  f (a,b,c,d)  a b    c d là một dạng song tuyến tính (tính chất của định thức).         Thật vậy, với bất kì  x  (a, b), y  (c,d), x  (a, b), y  (c,d) thuộc  K 2 và  ,  K  ta có:  f (x  x, y)              f (x, y)  a b c f (x, y  y)                 f (x, y)  a  a b  b a b a  b  f (x, y)  f (x, y)     c d c d c d d  a b c d    f (x, y)   a b a b a b    f (x, y)  f (x, y)    c  c d  d c d c d a b a b   f (x, y)     c  d c d Vậy f là một dạng song tuyến tính trên  K 2 .   Ví dụ 3. Nếu E là không gian Euclid, thì tích vô hướng là một dạng song  tuyến tính trên E. Thật vậy, Với  x, x1, x 2 , y, y1, y 2  E và  ,          Theo định nghĩa tích vô hướng trên E ta có x1  x 2 , y  x1, y  x 2 , y    và  x, y   x, y   Lại có  x, y1  y 2  y1  y 2 , x  y1, x  y 2 , x  x, y1  x, y 2 x,  y  y, x   y, x   x, y Vậy tích vô hướng là một dạng song tuyến tính trên E.                        5    1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên Định nghĩa.   Dạng song tuyến tính  f (x, y)  trên V gọi là đối xứng nếu      f (x, y)  f (y, x), x, y  V   Dạng song tuyến tính  f (x, y)  trên V gọi là đối xứng lệch nếu      f (x, y)  f (y, x), x, y  V   Dạng song tuyến tính  f (x, y)  trên V gọi là thay phiên nếu      f (x, x)  0 , x  V   Ví dụ: Cho  V  K 2 .  Khi  đó  f (x, y)  x1y 2  x 2 y1   là  một  dạng  song  tuyến  (i) tính đối xứng, còn   g(x, y)  x1y2  x 2 y1 vừa là một dạng song tuyến  tính thay phiên, vừa là đối xứng lệch.   Dạng  song  tuyến  tính  f (x, y)  x1y1  x 2 y 2   trên  K 2   là  đối  xứng,  (ii) nhưng không thay phiên. (iii) Ánh xạ  f : R n  R n  R xác định bởi:  f (x, y)  x1y1  x 2 y 2  ...  x n y n ,  là một dạng song tuyến tính đối xứng trên  R n  với  x  (x1,...x n ), y  (y1,..yn ).   Nhận xét.   1. Mọi dạng song tuyến tính thay phiên là đối xứng lệch. Thật vậy:  do f là dạng song tuyến tính thay phiên nên với mọi  x, y  V  ta có   f (x  y, x  y)  0  f (x  y, x  y)  0  f (x  y, x  y)  f (x  y, x  y)  f (x, x  y)  f (y, x  y)  f (x, x  y)  f (y, x  y)  f (x, x)  f (x, y)  f (y,x)  f (y, y)  f (x, x)  f (x, y)  f (y,x)  f (y, y)  2f (x, y)  2f (y,x)  0  f (x, y)  f (y,x) W.         6      2. Mọi dạng song tuyến tính trên V đều có thể biểu được thành tổng  của  một  dạng  song  tuyến  đối  xứng  và  một dạng  song  tuyến  tính  thay  phiên  trên V.  Thật vậy: với  x, y  V đặt   1 f (x, y)  f (y, x) 2   1 f 2 (x, y)  f (x, y)  f (y, x) 2 f1 (x, y)    Dễ dàng chứng minh được  f1 là dạng song tuyến tính đối xứng và  f 2 là  dạng tuyến tính thay phiên thỏa mãn  f  f1  f 2   1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính              Cho  S={1,2 ,...m }  là cơ sở của V và  T={1, 2 ,...n }  là cơ sở của  W.  Khi đó, tương tự như  ánh xạ tuyến tính, dạng  song tuyến tính được xác  định duy nhất qua các giá trị của nó trên  S  T .  Định lí 1.1 Ánh xạ   f : V  W  K  là một dạng song tuyến tính khi và chỉ khi  tồn tại mn phần tử  a ij  K,i  1,2,...m, j  1,2,...n sao cho  m n f (x, y)   a ijx i y j   i 1 j1 với mọi  x  x11  ...  x n n và y  y11  ...  y n n . Hơn nữa khi đó  f ( i ,  j )  a ij ,i  1,2,...m, j  1,2,...n   và f là dạng song tuyến tính duy nhất trên V thỏa mãn điều kiện này.  Nếu kí hiệu  A  (a ij )  M(m,n;K) thì ta có thể viết f(x, y) như sau:                            f (x, y)  (x1,...x m )A(y1,...y n )T .  Chứng minh.  Giả sử f là dạng song tuyến tính tùy ý trên  V  W . Với mỗi cặp (i, j)  trong  đó  i  1,2,...m, j  1,2,...n ta  đặt  f ( i ,  j )  a ij .  Khi  đó,  với  bất  kì  x  x11  ...  x m m , y  y11  ...  y n n  V  ta có:          7    n   f (x, y)  f ( x i i ,  y j j )   x if  i ,  y j j   j1  i 1 j1 i 1   m m n n n   m n m n   x i  y jf (i ,  j )   x i y jf (i ,  j )   a ijx i y j i 1 j1 i 1 j1 i 1 j1     Ngược lại, giả sử tồn tại mn phần tử  a ij | i  1,2,...m, j  1,2,...n sao cho  ánh  xạ  f : V  W  K   thỏa  mãn  điều  kiện  trong  định  lí.  Khi  đó  với  bất  kì  m m n n x   x i i , x   xi i  V, y   y j j , y   yj j  W, ,  K ta có  i 1 i 1 j1 j1 m n n m  m  f (x  x, y)  f   x i i   xi i ,  y j j   f   (x i  xi )i ,  y j j   i 1   i 1  i 1 j1 j1     m n m n   (x i  xi )y jf (i ,  j )   (x i  xi )y ja ij i 1 j1 i 1 j1 m n m n   x i y ja ij   xi y ja ij  f (x, y)  f (x, y) i 1 j1         i 1 j1 n m   f  x, y   f (  x i i ,  y j j )  f  x i i ,  y j j   i 1  i 1 j1 j1   m m n n m n   x i y jf (i ,  j )    x i y ja ij  f (x, y) i 1 j1 i 1 j1 Tương tự ta cũng chứng minh được  f (x, y  y)  f (x, y)  f (x, y) và    f (x, y)  f (x, y) . Do đó f là dạng song tuyến tính trên V  W . Khi  x  i ,   y   j  thì  x i  1, x t  0  với  t  i ,  y j  1, yh  0  với  h  j .    Vì vậy ta có:  f ( i ,  j )  a ij  với mọi cặp (i, j).  Giả  sử  g  là  một  dạng  song  tuyến  tính  trên  V  thỏa  mãn  điều  kiện   g( i ,  j )  a ij.         8     Khi  đó  với  hai  vectơ  bất  kì x  x11  ...  x m m , y  y11  ...  y n n   ta có   m n g(x, y)   a ijx i y j  f (x, y)   i 1 j1 Vậy f = g. Định lí được chứng minh. 1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính  Định nghĩa Ma trận  A  (a ij ) mn  trong đó  a ij  f (i ,  j ),i  1,2,...m, j  1, 2,...n được gọi là ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f  trên  V  W theo cặp  cơ sở (S, T). Nếu f là dạng song tuyến tính trên V thì ma trận biểu diễn của f  theo cặp (S, S) được nói gọn là ma trận biểu diễn của f theo S.  Ví dụ. Tìm ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f  với  i) Dạng song tuyến tính f trên  K 2  K 3 được cho bởi   f (x1, x 2 ; y1, y 2 , y3 )  (x1  x 2 )(y1  2y 2  y3 )   ii) Dạng song tuyến tính trên  R 2 , x  (x1, x 2 ), y  (y1, y2 ) cho bởi  f (x, y)  x1 x 2   y1 y 2 iii)  Nếu  f  là  tích  vô  hướng  trên  không  gian  vectơ  Euclid,  thì  ma  trận  biểu diễn của f  theo cơ sở  (a) = {a1,a 2 ,...a n } trong không gian vectơ E như  thế nào?  Giải.  a a  i)Đặt  A   11 12  a 21 a 22 a13  ,  a 23  chọn cơ sở của  K 2 là  (e)  e1  (1,0), e2  (0,1) và cơ sở của  K 3 là  ()  1  (1,0,0),  2  (0,1,0),  2  (0,0,1) ta có:         9    a11  f (e1, 1)  (1  0)(1  2.0  3.0)  1 a 21  f (e2 , 1 )  (0  1)(1  2.0  0)  1 a12  f (e1,  2 )  2   a 22  f (e2 , 2 )  2 a13  f (e1, 3 )  3 a 23  f (e2 , 3 )  3 Vậy ma trận của f theo cặp cơ sở   (e),()   là   1 2 3  A    1 2 3  ii) Nếu chọn cơ sở của  R 2 là  (e)  e1  (1,0), e2  (0,1) thì  a11  f (e1,e1 )  a12  f (e1,e2 )  1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 a 21  f (e2 ,e1)  a 22  f (e2 ,e2 )  0 1  1 1 0 0 1 0 1   0   Vậy ma trận của f  theo cơ sở (e) là    0 1 A     1 0   iii) Nếu f là tích vô hướng của không gian Euclid, thì ma trận biểu diễn  của f  theo cơ sở S chính là ma trận Gram của cơ sở đó.   Nhận xét: 1. Một dạng song tuyến tính f hoàn toàn được xác định nếu biết ma trận  của nó đối với một cơ sở nào đó.  2. Nếu A là ma trận biểu diễn của một dạng song tuyến tính f. Khi đó f  đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng, và f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối  xứng lệch. Thật vậy:    f đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng.           Rõ ràng, nếu f đối xứng thì  a ij  f (i ,  j )  f ( j , i )  a ji với mọi  i, j nên  A đối xứng.        10     m         Ngược lại, nếu A đối xứng, tức là  a ij  a ji , i,j thì với     x i i tùy ý  i 1  n thuộc  V và     y j j tùy ý thuộc  W ta có:  j1 m n n m     f (, )   a ijx i y j   a ji y jx i  f (, )   i 1 j1 j1 i 1 Vậy f đối xứng  .       f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối xứng lệch.            Rõ  ràng,  nếu  f  đối  xứng  lệch  thì  a ij  f (i ,  j )  f ( j , i )  a ji với  mọi  i, j nên A đối xứng lệch.   m          Ngược lại, nếu A đối xứng lệch, tức là  a ij  a ji , i,j thì với     x i i   i 1  n tùy ý thuộc  V và     y j j tùy ý thuộc  W ta có:  j1 m n n m n m     f (, )   a ijx i y j   a ji y jx i   a ji y jx i  f (, )   i 1 j1 j1 i 1 j1 i 1        Vậy f đối xứng lệch  .   1.5. Hạng của dạng song tuyến tính Định nghĩa.       Hạng của dạng song tuyến tính f trên V là hạng của một ma trận biểu  diễn của nó và được kí hiệu là rank(f) .     Ta nói dạng song tuyến tính f suy biến nếu  rank(f )  dim V , và không  suy biến nếu  rank(f )  dim V .  Ví dụ.      Dạng song  tuyến  tính  f (x, y)  x1y1  3x 2 y 2   trên  K 2 có  hạng  rank(f) = 2.         11    Thật vậy, chọn cơ sở của  K 2 là  (e)  e1 =(1,0),e2  (0,1) ta có  1 0 ma trận của dạng song tuyến tính f trong  (e) là  A      0 3 Vì  1 0 0 3  3  0 nên  rankA  2   Vậy hạng của dạng song tuyến tính f là  rankf  2.   1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau Theo định nghĩa, ma trận dạng song tuyến tính thay đổi khi ta đổi cơ sở  của  không  gian  vectơ.  Ta  hãy  xét  mối  liên  quan  giữa  hai  ma  trận  của  cùng  một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau. Định lí 1.2. Giả  sử  trong  không  gian  tuyến  tính  V,  cho  hai  cơ  sở  S  {1,2 ,...n }  và  (T)  {1,2 ,...n } .  A  và  B là  hai  ma  trận  tương  ứng  của  cùng  một  dạng  song  tuyến  tính  f (x, y) trong  S và  T  , P là  ma  trận  chuyển từ cơ sở   S sang cơ sở   T  . Khi đó ta có   B  PT AP   trong đó  PT  là ma trận chuyển vị của ma trận  P .  Chứng minh.    Kí hiệu  A  (a ij ) nn ,  B  (bij ) nn , P  (cij ) nn  ta có  n n b kl  f (k , l )  f ( cik i , c jl j )  i 1 i 1 n n  cik c jlf (i ,  j )   cik a ijc jl i, j1 i, j1 với  mọi k,l  = 1,…,n,  b kl  chính  là phần tử nằm  ở  dòng  k, cột l  của  ma  trận  P T AP . Điều này tương đương với  B  P T AP .        Chú ý: 1. Ta có det P ≠ 0; rank ( B ) = rank ( A ).        12    2. Như đã biết,  một vectơ ej của hệ cơ sở (e) = {e1, e2,...en}có tọa độ  trong  hệ  cơ  sở  (e)  là  ej  =  (0,0,…0,1,0,…0)  và  một  vectơ  x  có  biểu  diễn   x  (x1, x 2 ,...x n )   trong  cơ sở  (e) .  Do  đó nếu không  nói  gì thêm, thì  ta luôn  hiểu hệ  (e) , xác định như trên là hệ chính tắc và nói cho x  (x1, x 2 ,...x n ) thì  hiểu đây là tọa độ của x trong hệ cơ sở chính tắc.  3. Hai ma trận  A và  B như trên được gọi là tương đẳng. Như vậy hai  ma trận là tương đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng là ma trận biểu diễn của  cùng một dạng song tuyến tính. Ví dụ.   Trong  V  =  R 3   với  cơ  sở  chính  tắc  (e)  {e1 ,e 2 ,e 3} cho  dạng  song tuyến tính:   f (x, y)  x1y1  x 2 y 2  x 3 y3 .  Hãy tìm ma trận  B của f trong cơ sở ()  {1  (1,1,0),  2 (1,0,1), 3 (1,1,1)}.     Bài giải.    Cách 1. (trực tiếp) Gọi ma trận của f trong cơ sở  () là    b11 b12  B   b 21 b 22 b  31 b32 b13   b 23    b33  ta có  b11  f (1, 1)  1.1  3.1.1  2.0.0  4 b12  f (1,  2 )  1.1  3.1.0  2.0.1  1 b13  f (1, 2 )  1.1  3.1.1  2.0.1  4 b 21  f ( 2 , 1)  1; b 22  f (2 ,  2 )  3; b 23  f ( 2 , 3 )  4 b31  f (3 , 1)  4; b32  f (3 ,  2 )  3; b33  f (3 , 3 )  6  4 1 4        Vậy   B   1 3 3  .  4 3 6           13    Cách 2. Trong cơ sở  (e) , f có ma trận      1 0 0 A e   0 3 0    0 0 2   Ma trận chuyển từ cơ sở  (e) sang cơ sở ()  là   1 1 1 P   1 0 1    0 1 1   Vậy  B  P T .A.P   1 1 0  1 0 0  1 1 1  4 1 4                      1 0 1   0 3 0  1 0 1   1 3 3    1 1 1  0 0 2  0 1 1  4 3 6        1.7. Dạng toàn phương Định nghĩa   Cho  f  là một dạng song tuyến tính đối xứng trên  V . Ta gọi ánh xạ xác  định bởi  (x)  f (x, x)   là dạng toàn phương trên  V sinh bởi  f (hoặc liên kết với f).  Ví dụ.  Với  mọi  vectơ  x  (x1, x 2 ), y  (y1, y 2 ) ,  dạng  song  tuyến  tính  f (x, y)  3x1y 2  x 2 y1 , sinh ra dạng toàn phương  (x)  2x1x 2 .    Nhận xét. Có thể có nhiều dạng song tuyến tính cùng sinh ra một dạng toàn  phương. Chẳng hạn, nếu f là một dạng song tuyến tính không đối xứng, ta đặt  g(y, x)  f (x, y), x, y  V thì các dạng song tuyến tính f và g trên V cùng sinh  ra một dạng toàn phương nhưng  f  g .     Bổ đề sau đây không chỉ cho ta ví dụ, mà còn cho ta biết dạng tổng quát của  dạng toàn phương, đồng thời giải thích tên gọi ‘‘toàn phương’’ (toàn bậc hai).        14    Bổ đề 1.1 Cho  S   là  cơ  sở  của  không  gian  vectơ  V   chiều  n.  Một  ánh  xạ   : V  K  là một dạng toàn phương khi và chỉ khi nó được viết dưới dạng   n n (x)   a ijx i x j   i 1 j1 trong đó  (x1, x 2 ,...., x n )  là tọa độ của x theo S và  a ij  K          Nếu ta cố định một cơ sở S của không gian vectơ, thì nhiều khi ta cũng  nói  (x)   là  dạng  toàn  phương  của  các  biến  (tọa  độ) x1, x 2 ,...x n .  Ngược  lại,  khi cho dạng toàn phương dưới dạng   n n (x)   a ijx i x j   i 1 j1 ta hiểu đó là dạng toàn phương trên  K n  và  (x1, x 2 ,...x n )  là tọa độ của x theo  cơ sở tự nhiên.  Chứng minh. Từ định lí 1.1 ta suy ra bổ đề 1.1.   Chú ý.    Cho một trường P với đơn vị e, nếu đẳng thức ne = 0 xảy ra với một  số nguyên dương n, thì số bé nhất trong các số đó gọi là đặc số của của trường  P. Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậy thì ta nói đặc số của trường  P bằng 0. Vậy đặc số của trường chỉ có thể là số nguyên tố hoặc số 0. Kí hiệu  là   char(P)  n . Ví dụ, trường các số hữu tỉ  ¤ , trường các số thực  ¡ , trường  số phức  £  có đặc số bằng 0, trường thặng dư theo môđun nguyên tố p có đặc  số p.    Bổ đề 1.2 Giả sử  char  K    2.   Cho    là một dạng toàn phương trên V. Khi  đó tồn tại duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng h sinh ra   . Dạng này  được xác định bởi công thức:  1 h(x,y)  [( x  y )  ( x)  (y)]   2 với mọi  x,y  V . Hơn nữa, nếu   trong cơ sở S được viết dưới dạng