TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ----------- ĐẶNG THỊ HOA DẠNG SONG TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ------------ ĐẶNG THỊ HOA DẠNG SONG TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học THS. ĐINH THỊ KIM THÚY HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ Hình học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths. Đinh Thị Kim Thúy, người đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo và truyền đạt kinh nghiệm cho em trong suốt quá trình nghiên cứu khóa luận. Do lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học nên đề tài khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012. SINH VIÊN Đặng Thị Hoa LỜI CAM ĐOAN Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ chỉ bảo, tận tình của cô hướng dẫn, em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận tốt nghiệp của em. Em xin cam đoan bài khóa luận trên là do bản thân em nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của cô giáo hướng dẫn mà có và không sao chép từ bất cứ tài liệu có sẵn nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 05 năm 2012. SINH VIÊN Đặng Thị Hoa MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 NỘI DUNG.................................................................................................... 3 Chương 1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH ...................................................... 3 1.1. Định nghĩa, ví dụ..................................................................................... 3 1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên................... 5 1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính .......................................................... 6 1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính ............................................................ 8 1.5. Hạng của dạng song tuyến tính.............................................................. 10 1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau............................................................................................ 11 1.7. Dạng toàn phương ................................................................................ 13 Bài tập chương 1 .......................................................................................... 19 Chương 2. DẠNG HERMITE ...................................................................... 26 2.1. Dạng song tuyến tính liên hợp ............................................................... 26 2.1.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 26 2.1.2. Sự xác định định dạng song tuyến tính liên hợp ................................. 27 2.1.3. Ma trận của dạng song tuyến tính liên hợp ......................................... 29 2.1.4. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên hợp đối với hai cơ sở khác nhau. ......................................................................... 29 2.1.5. Dạng toàn phương liên hợp ................................................................ 30 2.2. Dạng Hermite ........................................................................................ 31 2.2.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 31 2.2.2. Sự xác định dạng Hermite .................................................................. 32 2.2.3. Ma trận của dạng Hermite .................................................................. 32 2.2.4. Mối liên hệ giữa dạng song tuyến tính liên hợp trên không gian unita và dạng Hermite............................................................................................... 34 2.2.5. Giới thiệu về dạng toàn phương Hermite ............................................ 34 Bài tập chương 2 .......................................................................................... 37 KẾT LUẬN.................................................................................................. 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 42 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Có thể nói, đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toán nói chung, Đại số tuyến tính là một môn khoa học quan trọng vì nó là nền tảng của nhiều môn toán như: Hình học Aphin, Hình học Ơclit, Hình học vi phân..... Cấu trúc không gian vectơ cho phép diễn đạt các khái niệm như độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, tập sinh, hạng, cơ sở và tọa độ, không gian con k chiều (đường thẳng, mặt phẳng)…Tuy nhiên cấu trúc này chưa cho phép nói đến các khái niệm mang nội dung hình học nhiều hơn như độ dài vectơ và góc giữa hai vectơ…Để diễn đạt những khái niệm này, người ta cần cấu trúc không gian vectơ Euclid. Chính vì thế ta cần nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về dạng song tuyến tính. Do đó em đã chọn đề tài: “Dạng song tuyến tính”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về dạng song tuyến tính. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là đại số tuyến tính, cụ thể là dạng song tuyến tính. Phạm vi nghiên cứu là tất cả tài liệu liên quan đến dạng song tuyến tính. 4. Phương pháp nghiên cứu. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu có liên quan… 5. Nội dung của khóa luận Nội dung của khóa luận gồm có hai chương chính như sau: Chương 1. Dạng song tuyến tính 2 Nội dung của chương 1 xoay quanh 2 vấn đề chính: Định nghĩa dạng song tuyến tính và các khái niệm, các định lí liên quan đến dạng song tuyến tính nhằm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về vấn đề mà chúng ta đang nghiên cứu. Định nghĩa dạng toàn phương và các khái niệm, các định lí của dạng toàn phương, phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Chương 2. Dạng Hermite Nội dung của chương 2 đi vào tìm hiểu dạng song tuyến trong không gian vectơ phức trong đó xoay quanh 2 vấn đề chính: Trình bày các định nghĩa, định lí liên quan đến dạng song tuyến tính liên hợp. Định nghĩa dạng Hermite (dạng song tuyến tính liên hợp đối xứng) và các khái niệm liên quan đến dạng Hermite. 3 NỘI DUNG Chương 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1. Định nghĩa, ví dụ Cho V và W là hai không gian vectơ trên trường K. Định nghĩa Ánh xạ f : V W K được gọi là một dạng song tuyến tính trên V W nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, x V , y, y W và , K : (I) (II) f (x x, y) f (x, y) f (x, y), f (x, y) f (x, y) f (x, y y) f (x, y) f (x, y), f (x, y) f (x, y) Nói cách khác khi cố định một biến thì f là dạng tuyến tính đối với biến còn lại. Dạng song tuyến tính trên V V còn được gọi là dạng song tuyến tính trên V. Ví dụ 1. a) Nếu g là một dạng tuyến tính trên V và h là một dạng tuyến tính trên W, thì f(x, y) = g(x).h(y) với mọi x V, y W là một dạng song tuyến tính trên V W . Chẳng hạn khi V K 2 và W K 3 , thì f (x, y) (x1 x 2 )(y1 2y 2 3y3 ) là một dạng song tuyến tính trên K 2 K 3. Thật vậy, đặt g(x) x1 x 2 , x x1, x 2 K 2 h(y) y1 2y2 3y3 , y y1, y 2 , y3 K 3 Vì g(x) là một dạng tuyến tính trên K 2 nên f (x, y) thỏa mãn (I) 4 Vì h(y) là một dạng tuyến tính trên K 3 nên f (x, y) thỏa mãn (II) Suy ra f(x, y) thỏa mãn các điều kiện của một dạng song tuyến tính. Vậy f là một dạng song tuyến tính trên K 2 K 3. b) Ánh xạ f : K 2 K 2 K cho bởi f (a,b,c,d) a b c d là một dạng song tuyến tính (tính chất của định thức). Thật vậy, với bất kì x (a, b), y (c,d), x (a, b), y (c,d) thuộc K 2 và , K ta có: f (x x, y) f (x, y) a b c f (x, y y) f (x, y) a a b b a b a b f (x, y) f (x, y) c d c d c d d a b c d f (x, y) a b a b a b f (x, y) f (x, y) c c d d c d c d a b a b f (x, y) c d c d Vậy f là một dạng song tuyến tính trên K 2 . Ví dụ 3. Nếu E là không gian Euclid, thì tích vô hướng là một dạng song tuyến tính trên E. Thật vậy, Với x, x1, x 2 , y, y1, y 2 E và , Theo định nghĩa tích vô hướng trên E ta có x1 x 2 , y x1, y x 2 , y và x, y x, y Lại có x, y1 y 2 y1 y 2 , x y1, x y 2 , x x, y1 x, y 2 x, y y, x y, x x, y Vậy tích vô hướng là một dạng song tuyến tính trên E. 5 1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên Định nghĩa. Dạng song tuyến tính f (x, y) trên V gọi là đối xứng nếu f (x, y) f (y, x), x, y V Dạng song tuyến tính f (x, y) trên V gọi là đối xứng lệch nếu f (x, y) f (y, x), x, y V Dạng song tuyến tính f (x, y) trên V gọi là thay phiên nếu f (x, x) 0 , x V Ví dụ: Cho V K 2 . Khi đó f (x, y) x1y 2 x 2 y1 là một dạng song tuyến (i) tính đối xứng, còn g(x, y) x1y2 x 2 y1 vừa là một dạng song tuyến tính thay phiên, vừa là đối xứng lệch. Dạng song tuyến tính f (x, y) x1y1 x 2 y 2 trên K 2 là đối xứng, (ii) nhưng không thay phiên. (iii) Ánh xạ f : R n R n R xác định bởi: f (x, y) x1y1 x 2 y 2 ... x n y n , là một dạng song tuyến tính đối xứng trên R n với x (x1,...x n ), y (y1,..yn ). Nhận xét. 1. Mọi dạng song tuyến tính thay phiên là đối xứng lệch. Thật vậy: do f là dạng song tuyến tính thay phiên nên với mọi x, y V ta có f (x y, x y) 0 f (x y, x y) 0 f (x y, x y) f (x y, x y) f (x, x y) f (y, x y) f (x, x y) f (y, x y) f (x, x) f (x, y) f (y,x) f (y, y) f (x, x) f (x, y) f (y,x) f (y, y) 2f (x, y) 2f (y,x) 0 f (x, y) f (y,x) W. 6 2. Mọi dạng song tuyến tính trên V đều có thể biểu được thành tổng của một dạng song tuyến đối xứng và một dạng song tuyến tính thay phiên trên V. Thật vậy: với x, y V đặt 1 f (x, y) f (y, x) 2 1 f 2 (x, y) f (x, y) f (y, x) 2 f1 (x, y) Dễ dàng chứng minh được f1 là dạng song tuyến tính đối xứng và f 2 là dạng tuyến tính thay phiên thỏa mãn f f1 f 2 1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính Cho S={1,2 ,...m } là cơ sở của V và T={1, 2 ,...n } là cơ sở của W. Khi đó, tương tự như ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính được xác định duy nhất qua các giá trị của nó trên S T . Định lí 1.1 Ánh xạ f : V W K là một dạng song tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại mn phần tử a ij K,i 1,2,...m, j 1,2,...n sao cho m n f (x, y) a ijx i y j i 1 j1 với mọi x x11 ... x n n và y y11 ... y n n . Hơn nữa khi đó f ( i , j ) a ij ,i 1,2,...m, j 1,2,...n và f là dạng song tuyến tính duy nhất trên V thỏa mãn điều kiện này. Nếu kí hiệu A (a ij ) M(m,n;K) thì ta có thể viết f(x, y) như sau: f (x, y) (x1,...x m )A(y1,...y n )T . Chứng minh. Giả sử f là dạng song tuyến tính tùy ý trên V W . Với mỗi cặp (i, j) trong đó i 1,2,...m, j 1,2,...n ta đặt f ( i , j ) a ij . Khi đó, với bất kì x x11 ... x m m , y y11 ... y n n V ta có: 7 n f (x, y) f ( x i i , y j j ) x if i , y j j j1 i 1 j1 i 1 m m n n n m n m n x i y jf (i , j ) x i y jf (i , j ) a ijx i y j i 1 j1 i 1 j1 i 1 j1 Ngược lại, giả sử tồn tại mn phần tử a ij | i 1,2,...m, j 1,2,...n sao cho ánh xạ f : V W K thỏa mãn điều kiện trong định lí. Khi đó với bất kì m m n n x x i i , x xi i V, y y j j , y yj j W, , K ta có i 1 i 1 j1 j1 m n n m m f (x x, y) f x i i xi i , y j j f (x i xi )i , y j j i 1 i 1 i 1 j1 j1 m n m n (x i xi )y jf (i , j ) (x i xi )y ja ij i 1 j1 i 1 j1 m n m n x i y ja ij xi y ja ij f (x, y) f (x, y) i 1 j1 i 1 j1 n m f x, y f ( x i i , y j j ) f x i i , y j j i 1 i 1 j1 j1 m m n n m n x i y jf (i , j ) x i y ja ij f (x, y) i 1 j1 i 1 j1 Tương tự ta cũng chứng minh được f (x, y y) f (x, y) f (x, y) và f (x, y) f (x, y) . Do đó f là dạng song tuyến tính trên V W . Khi x i , y j thì x i 1, x t 0 với t i , y j 1, yh 0 với h j . Vì vậy ta có: f ( i , j ) a ij với mọi cặp (i, j). Giả sử g là một dạng song tuyến tính trên V thỏa mãn điều kiện g( i , j ) a ij. 8 Khi đó với hai vectơ bất kì x x11 ... x m m , y y11 ... y n n ta có m n g(x, y) a ijx i y j f (x, y) i 1 j1 Vậy f = g. Định lí được chứng minh. 1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính Định nghĩa Ma trận A (a ij ) mn trong đó a ij f (i , j ),i 1,2,...m, j 1, 2,...n được gọi là ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f trên V W theo cặp cơ sở (S, T). Nếu f là dạng song tuyến tính trên V thì ma trận biểu diễn của f theo cặp (S, S) được nói gọn là ma trận biểu diễn của f theo S. Ví dụ. Tìm ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f với i) Dạng song tuyến tính f trên K 2 K 3 được cho bởi f (x1, x 2 ; y1, y 2 , y3 ) (x1 x 2 )(y1 2y 2 y3 ) ii) Dạng song tuyến tính trên R 2 , x (x1, x 2 ), y (y1, y2 ) cho bởi f (x, y) x1 x 2 y1 y 2 iii) Nếu f là tích vô hướng trên không gian vectơ Euclid, thì ma trận biểu diễn của f theo cơ sở (a) = {a1,a 2 ,...a n } trong không gian vectơ E như thế nào? Giải. a a i)Đặt A 11 12 a 21 a 22 a13 , a 23 chọn cơ sở của K 2 là (e) e1 (1,0), e2 (0,1) và cơ sở của K 3 là () 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 2 (0,0,1) ta có: 9 a11 f (e1, 1) (1 0)(1 2.0 3.0) 1 a 21 f (e2 , 1 ) (0 1)(1 2.0 0) 1 a12 f (e1, 2 ) 2 a 22 f (e2 , 2 ) 2 a13 f (e1, 3 ) 3 a 23 f (e2 , 3 ) 3 Vậy ma trận của f theo cặp cơ sở (e),() là 1 2 3 A 1 2 3 ii) Nếu chọn cơ sở của R 2 là (e) e1 (1,0), e2 (0,1) thì a11 f (e1,e1 ) a12 f (e1,e2 ) 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 a 21 f (e2 ,e1) a 22 f (e2 ,e2 ) 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 Vậy ma trận của f theo cơ sở (e) là 0 1 A 1 0 iii) Nếu f là tích vô hướng của không gian Euclid, thì ma trận biểu diễn của f theo cơ sở S chính là ma trận Gram của cơ sở đó. Nhận xét: 1. Một dạng song tuyến tính f hoàn toàn được xác định nếu biết ma trận của nó đối với một cơ sở nào đó. 2. Nếu A là ma trận biểu diễn của một dạng song tuyến tính f. Khi đó f đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng, và f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối xứng lệch. Thật vậy: f đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng. Rõ ràng, nếu f đối xứng thì a ij f (i , j ) f ( j , i ) a ji với mọi i, j nên A đối xứng. 10 m Ngược lại, nếu A đối xứng, tức là a ij a ji , i,j thì với x i i tùy ý i 1 n thuộc V và y j j tùy ý thuộc W ta có: j1 m n n m f (, ) a ijx i y j a ji y jx i f (, ) i 1 j1 j1 i 1 Vậy f đối xứng . f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối xứng lệch. Rõ ràng, nếu f đối xứng lệch thì a ij f (i , j ) f ( j , i ) a ji với mọi i, j nên A đối xứng lệch. m Ngược lại, nếu A đối xứng lệch, tức là a ij a ji , i,j thì với x i i i 1 n tùy ý thuộc V và y j j tùy ý thuộc W ta có: j1 m n n m n m f (, ) a ijx i y j a ji y jx i a ji y jx i f (, ) i 1 j1 j1 i 1 j1 i 1 Vậy f đối xứng lệch . 1.5. Hạng của dạng song tuyến tính Định nghĩa. Hạng của dạng song tuyến tính f trên V là hạng của một ma trận biểu diễn của nó và được kí hiệu là rank(f) . Ta nói dạng song tuyến tính f suy biến nếu rank(f ) dim V , và không suy biến nếu rank(f ) dim V . Ví dụ. Dạng song tuyến tính f (x, y) x1y1 3x 2 y 2 trên K 2 có hạng rank(f) = 2. 11 Thật vậy, chọn cơ sở của K 2 là (e) e1 =(1,0),e2 (0,1) ta có 1 0 ma trận của dạng song tuyến tính f trong (e) là A 0 3 Vì 1 0 0 3 3 0 nên rankA 2 Vậy hạng của dạng song tuyến tính f là rankf 2. 1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau Theo định nghĩa, ma trận dạng song tuyến tính thay đổi khi ta đổi cơ sở của không gian vectơ. Ta hãy xét mối liên quan giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau. Định lí 1.2. Giả sử trong không gian tuyến tính V, cho hai cơ sở S {1,2 ,...n } và (T) {1,2 ,...n } . A và B là hai ma trận tương ứng của cùng một dạng song tuyến tính f (x, y) trong S và T , P là ma trận chuyển từ cơ sở S sang cơ sở T . Khi đó ta có B PT AP trong đó PT là ma trận chuyển vị của ma trận P . Chứng minh. Kí hiệu A (a ij ) nn , B (bij ) nn , P (cij ) nn ta có n n b kl f (k , l ) f ( cik i , c jl j ) i 1 i 1 n n cik c jlf (i , j ) cik a ijc jl i, j1 i, j1 với mọi k,l = 1,…,n, b kl chính là phần tử nằm ở dòng k, cột l của ma trận P T AP . Điều này tương đương với B P T AP . Chú ý: 1. Ta có det P ≠ 0; rank ( B ) = rank ( A ). 12 2. Như đã biết, một vectơ ej của hệ cơ sở (e) = {e1, e2,...en}có tọa độ trong hệ cơ sở (e) là ej = (0,0,…0,1,0,…0) và một vectơ x có biểu diễn x (x1, x 2 ,...x n ) trong cơ sở (e) . Do đó nếu không nói gì thêm, thì ta luôn hiểu hệ (e) , xác định như trên là hệ chính tắc và nói cho x (x1, x 2 ,...x n ) thì hiểu đây là tọa độ của x trong hệ cơ sở chính tắc. 3. Hai ma trận A và B như trên được gọi là tương đẳng. Như vậy hai ma trận là tương đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng là ma trận biểu diễn của cùng một dạng song tuyến tính. Ví dụ. Trong V = R 3 với cơ sở chính tắc (e) {e1 ,e 2 ,e 3} cho dạng song tuyến tính: f (x, y) x1y1 x 2 y 2 x 3 y3 . Hãy tìm ma trận B của f trong cơ sở () {1 (1,1,0), 2 (1,0,1), 3 (1,1,1)}. Bài giải. Cách 1. (trực tiếp) Gọi ma trận của f trong cơ sở () là b11 b12 B b 21 b 22 b 31 b32 b13 b 23 b33 ta có b11 f (1, 1) 1.1 3.1.1 2.0.0 4 b12 f (1, 2 ) 1.1 3.1.0 2.0.1 1 b13 f (1, 2 ) 1.1 3.1.1 2.0.1 4 b 21 f ( 2 , 1) 1; b 22 f (2 , 2 ) 3; b 23 f ( 2 , 3 ) 4 b31 f (3 , 1) 4; b32 f (3 , 2 ) 3; b33 f (3 , 3 ) 6 4 1 4 Vậy B 1 3 3 . 4 3 6 13 Cách 2. Trong cơ sở (e) , f có ma trận 1 0 0 A e 0 3 0 0 0 2 Ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở () là 1 1 1 P 1 0 1 0 1 1 Vậy B P T .A.P 1 1 0 1 0 0 1 1 1 4 1 4 1 0 1 0 3 0 1 0 1 1 3 3 1 1 1 0 0 2 0 1 1 4 3 6 1.7. Dạng toàn phương Định nghĩa Cho f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V . Ta gọi ánh xạ xác định bởi (x) f (x, x) là dạng toàn phương trên V sinh bởi f (hoặc liên kết với f). Ví dụ. Với mọi vectơ x (x1, x 2 ), y (y1, y 2 ) , dạng song tuyến tính f (x, y) 3x1y 2 x 2 y1 , sinh ra dạng toàn phương (x) 2x1x 2 . Nhận xét. Có thể có nhiều dạng song tuyến tính cùng sinh ra một dạng toàn phương. Chẳng hạn, nếu f là một dạng song tuyến tính không đối xứng, ta đặt g(y, x) f (x, y), x, y V thì các dạng song tuyến tính f và g trên V cùng sinh ra một dạng toàn phương nhưng f g . Bổ đề sau đây không chỉ cho ta ví dụ, mà còn cho ta biết dạng tổng quát của dạng toàn phương, đồng thời giải thích tên gọi ‘‘toàn phương’’ (toàn bậc hai). 14 Bổ đề 1.1 Cho S là cơ sở của không gian vectơ V chiều n. Một ánh xạ : V K là một dạng toàn phương khi và chỉ khi nó được viết dưới dạng n n (x) a ijx i x j i 1 j1 trong đó (x1, x 2 ,...., x n ) là tọa độ của x theo S và a ij K Nếu ta cố định một cơ sở S của không gian vectơ, thì nhiều khi ta cũng nói (x) là dạng toàn phương của các biến (tọa độ) x1, x 2 ,...x n . Ngược lại, khi cho dạng toàn phương dưới dạng n n (x) a ijx i x j i 1 j1 ta hiểu đó là dạng toàn phương trên K n và (x1, x 2 ,...x n ) là tọa độ của x theo cơ sở tự nhiên. Chứng minh. Từ định lí 1.1 ta suy ra bổ đề 1.1. Chú ý. Cho một trường P với đơn vị e, nếu đẳng thức ne = 0 xảy ra với một số nguyên dương n, thì số bé nhất trong các số đó gọi là đặc số của của trường P. Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậy thì ta nói đặc số của trường P bằng 0. Vậy đặc số của trường chỉ có thể là số nguyên tố hoặc số 0. Kí hiệu là char(P) n . Ví dụ, trường các số hữu tỉ ¤ , trường các số thực ¡ , trường số phức £ có đặc số bằng 0, trường thặng dư theo môđun nguyên tố p có đặc số p. Bổ đề 1.2 Giả sử char K 2. Cho là một dạng toàn phương trên V. Khi đó tồn tại duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng h sinh ra . Dạng này được xác định bởi công thức: 1 h(x,y) [( x y ) ( x) (y)] 2 với mọi x,y V . Hơn nữa, nếu trong cơ sở S được viết dưới dạng |