Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây
Sách giải toán 12 Bài 2 : Cộng, trừ và nhân số phức giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 134: Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi i là biến), hãy tính: (3 + 2i) + (5 + 8i); (7 + 5i) – (4 + 3i); Lời giải: (3 + 2i) + (5 + 8i) = (3 + 5) + (2 + 8)i = 8 + 10i. (7 + 5i) – (4 + 3i) = (7 – 4) + (5 – 3)i = 3 + 2i. Lời giải: (3 + 2i)(2 + 3i) = 3.2 + 3.3i + 2i.2 + 2i.3i = 6 + 9i + 4i – 6 = 13i. Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 135: Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức. Lời giải: Các tính chất của phép cộng Bài 1 (trang 135 SGK Giải tích 12): Thực hiện các phép tính sau:a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (-2 – 3i) + (-1 – 7i) c) (4 + 3i) – (5 – 7i) d) (2 – 3i) – (5 – 4i) Lời giải: a) Ta có: (3 – 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i b) Ta có: (-2 – 3i) + (-1 – 7i) = (-2 – 1) + (-3 – 7)i = -3 – 10i c) Ta có: (4 + 3i) – (5 – 7i) = (4 – 5) + (3-(-7))i = -1 + 10i d) Ta có: (2 – 3i) – (5 – 4i) = (2 – 5) + (-3 + 4)i = -3 + i Bài 2 (trang 136 SGK Giải tích 12): Tính α+ β,α- β với:a) α = 3, β = 2i b) α = 1 – 2i, β = 6i
c) α = 5i, β = -7i d) α = 15; β = 4 – 2i Lời giải: a) Ta có: α + β = 3 + 2i ; α – β = 3 – 2i b) α + β = (1 – 2i) + (6i) = 1 + 4i; α – β = (1 – 2i) – (6i) = 1 – 8i c) α + β = (5i) + (-7i) = -2i; α – β = (5i) – (-7i) = 12i d) α + β = (15) + (4 – 2i) = 19 – 2i ; α – β = (15) – (4 – 2i) = 11 + 2i Bài 3 (trang 136 SGK Giải tích 12): Thực hiện các phép tính sau:a) (3 – 2i)(2 – 3i) b) (-1 + i)(3 + 7i) c) 5(4 + 3i) d) (-2 – 5i)4i Lời giải: a) (3 – 2i)(2 – 3i) = (3.2 – 2.3) + (-3.3 – 2.2)i = -13i b) (-1 + i)(3 + 7i) = (-1.3 – 1.7) + (-1.7 + 1.3)i = -10 – 4i c) 5(4 + 3i) = 5.4 + 5.3i = 20 + 15i d) (-2 – 5i)4i = (-2.0 + 5.4) + (2.4 – 5.0)i = 20 – 8i Bài 4 (trang 136 SGK Giải tích 12): Tính i3,i4;i5. Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tùy ý:Lời giải: + i3 = i2.i= – 1i = -i. i4 = i2.i2 = -1.(-1) = 1 i5 = i4.i = 1.i = i + Với n là số tự nhiên bất kì ta có : Nếu n = 4k ⇒ in = i4k = (i4)k = 1k = 1. Nếu n = 4k + 1 ⇒ in = i4k + 1 = i4k.i = 1.i = i. Nếu n = 4k + 2 ⇒ in = i4k + 2 = i4k.i2 = 1.(-1) = -1. Nếu n = 4k + 3 ⇒ in = i4k + 3 = i4k.i3 = 1.(-i) = -i. Bài 5 (trang 136 SGK Giải tích 12): Tính:a) (2 + 3i)2 b) (2 + 3i)3 Lời giải: a) Ta có: (2 + 3i)2 = (2 + 3i)(2 + 3i) = (22 – 33) + (2.3 + 2.3)i = -5 + 12i Tổng quát (a + bi)2 = a2 – b2 + 2abi b) Ta có: (2 + 3i)3 = (2 + 3i)2.(2 + 3i) = (-5 + 12i).(2 + 3i) = (-5.2 – 12.3) + (-5.3 + 12.2)i = -46 + 9i Lưu ý: Có thể tính (2 + 3i)3 bằng cách áp dụng hẳng đẳng thức (2 + 3i)3 = 23 + 3.22.3i + 3.2.(3i)2 + (3i)3 = 8 + 36i + 54.(-1) + 27.(-1).i = (8 – 54) + (36 – 27)i
= -46 + 9i
=> Tham khảo Giải toán lớp 12 tại đây: Giải Toán lớp 12 Giải câu 1 đến 6 trang 18 SGK môn Toán lớp 12 - Giải câu 1 trang 18 SGK Toán lớp 12 giải tích - Giải câu 2 trang 18 SGK Toán lớp 12 giải tích - Giải câu 3 trang 18 SGK Toán lớp 12 giải tích - Giải câu 4 trang 18 SGK Toán lớp 12 giải tích - Giải câu 5 trang 18 SGK Toán lớp 12 giải tích - Giải câu 6 trang 18 SGK Toán lớp 12 giải tích Bài hướng dẫn Giải bài tập trang 18 SGK Giải Tích 12 trong mục giải bài tập toán lớp 12. Các em học sinh có thể xem lại phần Giải bài tập trang 12 SGK Hình Học 12 đã được giải trong bài trước hoặc xem trước hướng dẫn Giải bài tập trang 18 SGK Hình Học 12 để học tốt môn Toán lớp 12 hơn. Chương I Giải Tích các em học bài Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, hãy xem gợi ý Giải Toán 12 trang 43, 44 của Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số để học tốt Toán 12. Bài 1. Lũy thừa là phần học tiếp theo của Chương II Giải Tích lớp 12 cùng xem gợi ý Giải toán lớp 12 trang 55, 56 để nắm vững kiến thức cũng như học tốt Toán 12.
Cực trị của hàm số được tính như thế nào? Để nắm bắt rõ nội dung bài học này chúng ta cùng nhau tham khảo giải bài tập trang 18 SGK Giải Tích 12 với kiến thức lý thuyết tổng hợp cùng với những nội dung hướng dẫn giải toán lớp 12 khá chi tiết. Hi vọng với những nội dung dưới đây sẽ giúp các bạn học tập và nâng cao kiến thức tốt nhất. Giải bài tập trang 30 SGK Giải Tích 12 Giải bài tập trang 90 SGK Giải Tích 12 Giải bài tập trang 143, 144 SGK Giải Tích 12 Giải bài tập trang 126, 127 SGK Giải Tích 12 Giải bài tập trang 17, 18 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Giải Bài 2 Trang 18 SGK Toán 5Bài 2. cực TRỊ CỦA HÀM số A. KIẾN THỨC CẦN NAM VỮNG Định nghĩa cực trị Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm Xo e (a; b). - Nếu có số’ h > 0 sao cho Xo e (a; b), (x0 - h; Xo + h) C2 (a; b) ta có fix) < flx0) V xe (x0 - h; Xo + h), X Xo thì khi đó Hx) đạt cực đại tại Xo và f(x0) là giá trị cực đại của hàm số’ fix). 10 GBT Giải tích 12 - CB Nêu có số h > 0 sao cho Xo e (a; b), (x0 - h; Xo + h) c (a; b) ta có f(x) > f(x0) V X G (x0 - h; Xo + h), X Xo thì khi đó fix) đạt cực tiểu tại Xo và f(x0) là giá trị cực tiếu của hàm sô' f(x). Cực đại hay cực tiểu của f(x) gọi chung là cực trị của fix). Điều kiện để hàm sô có cực trị Định lí 1: Cho hàm sô' y = fix) liên tục trên K = (xo - h; Xo + h), h > 0 và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {xol, nếu: f(x) > 0 trên (x0 - h; Xo) và f(x) < 0 trên (x0; Xo + h) thì Xo là một điểm cực đại của fix). f(x) 0 trên (x0; Xo + h) thì Xo là một điểm cực tiểu của fix). Định lí 2: Cho hàm sô' y = fix) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 - h; Xo + h) với h > 0. Nếu: f(xo) = 0; f’(x0) > 0 thì Xo là điểm cực tiểu. —F(xq) = 0; f’(x0) < 0 thì Xo là điểm cực đại. Tìm cực trị Quy tắc 1: Ta có thế’ tìm cực trị của hàm sô' y = fix) như sau: Tìm tập xác định của hàm sô' rồi tính fix). Tìm các điểm mà tại đó f(x) không xác định hoặc bằng không. Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2: Ta có thể tìm cực trị của hàm sô' y = fix) như sau: Tìm tập xác định của hàm số rồi tính f(x). Giải phương trình f(x) = 0 và kí hiệu Xi (i = 1, 2, 3, ...) là các nghiệm của nó. Tính f’(x) và f’(Xi). Dựa vào dâ'u của f’(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm Xi. B. GIẢI BÀI TẬP Áp đụng Quỉ tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: y = 2x3 + 3x2 -36x - 10 b) y = X4 + 2x2 - 3 y = X + — d) y = X3 (1 -x)2 X y = Vx2 — x + 1 Giải Ta có: D = R y’ = 6x2 + 6x - 36 = 6(x2 + X - 6)= 0 X = - 3 hoặc X = 2 Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại X = -3 và đạt cực tiểu tại X = 2, vậy đồ thị của hàm số có điểm cực đại là (-3; 71) và điểm cực tiểu là (2; -54). Ta có: D = R y’ - 4x3 + 4x = 4x (x2 + 1) = 0 X - 0 Bảng biến thiên: Vậy hàm sô' có điểm cực tiểu là X = 0. Ta có: D = R \ Ịo} y' = 1 y = 0 o X = ± 1, hàm số không xác định tại X = 0 X Bảng biến thiên: Ta có: D = R y’ = 3x2 (1 - X)2 -2x3(1 - x) = X2 (5x2 - 8 X + 3) = 0 3 x = 0;x=l;x= — 5 Bảng biến thiên: Ta có: X = 0 không phải là điếm cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi X đi qua X = 0. -> 0 Vx G R 4 e) Ta có: X2 - X + 1 = Do đó, với mọi X e R thì 7.X2 -x + 1 luôn luôn xác định. Vậy D - R. 2x-l „ . . 1 = 0 x = -2 2a/x2 -X +1 Bảng biến thiên: 2 b) y = sin2x - X d) y = X5 - X3 - 2x + 1 Giải Áp dụng Qui tắc 2, hãy tìm các điếm cực trị của các hàm sô sau: y = X4 - 2x2 + 1 c) y - sinx + cosx a) Ta có: D = R y’ = 4x3 - 4x = 0 X = 0, X = ± 1 y” = 12x2 - 4 y”(0) = -1 0=>x = -lvàx=llà các điểm cực tiểu. Ta có: D = R .71 y = 2cos2x - 1 = 0 X = ± -7 + k7t, k e z 6 y” = -4sin2x y —+ K71 =-4sin-- xrn=-- + k7i,kG z <6 ) 3 CD 6 y --? + k7i = 4sin_ > 0 => xrT= - -7 + k7T,k e z I 6 J 3 CT 6 Ta có: D = R . .. nz .(.. , 71A y = sinx + cosx => y = <2 sin X + — k 4 J y' = Vicos X+-Ị ,y' = 0 X = Ị + k7T, keZ I 4j 4 , 71Ì y = -s/2 sin X + — I 4J m ,/7t , /- . (71 , ị -VI nếu k chan Ta CÓ: y — + k7T =-V2 sin ;-+k7T = < _ V 4 J <2 J VI nếu k lẻ Vậy hàm sô đạt cực đại tại điểm x=-y + 2k7T và cực tiểu tại điểm 4 x=^ + (2k + l)7i,VkeZ. Ta có: D = R y’ = 5x4 - 3x2 - 2 = 0 X = ± 1 y” = 20x3 - 6x ỹ”(-l) = -20 + 6 = -14 XCĐ = -1 ỹ”(l) = 20 - 6 = 14 > 0 => XCT = 1 Chứng minh rằng hàm sô' y = ựjx| không có đạo hàm tại X = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó. Giải Ta có, giới hạn của tỉ sô' ~ thuộc hàm sô' y = Vjlĩ tại Xo = 0 là: Ax VI I • Av \l 0 + Ax - VÕ a/Ax lim = lim — = lim ^-2- Ax->0 Ax Ax->() Ax Ax |Ax| [-00 với Ax < 0 = lim— 21— = - Ax“‘" Axự|Ax| [+ot với Ax < 0 Nghĩa là hàm số y = ự|x| không có đạo hàm tại X = 0. Xét y - trong khoảng (0 - h; 0 + h) với h > 0, ta có: 7ịxj>0, Vxe(o-h; 0 + h); x*0 Vậy hàm số y = ựjx| đạt cực tiểu tại X = 0. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = X3 - mx X- — a - 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Giải Xét hàm số’ y = X3 - mx2 - 2x + 1, ta có: D = R y' = 3x2 -2mx-2 = 0 m - Vin2 +6 m + Vm2 +6 X. = 4- V X, = 4- 1 3 2 3 Với mọi giá trị của m ta đều có X1 < 0 < X2. Bảng biến thiên: Qua bảng biến thiên ta thấy hàm sô’ đã cho có XCĐ = 4 và m +Vm2 +6 , . X™. = — với mọi giá trị cua tham số m. c 3 Tìm a và b đế các cực trị của hàm sô’ y - ~-a2x3 + 2ax2 -9x + b đều là những sô’ dương và x() = “ là điểm cực đại. Giải Ta có: Nếu a = 0 thì y = -9x + b. Vậy hàm số không có cực trị. Nếu a * 0. Khi đó: 9 y' = 5a2x2 +2ax-9; y' = 0 X = ------ 5a Ta xét hai trường hợp: a) Nếu a < 0 thì ta có bảng biến thiên: X 1 ~ Xác định giá trị của tham sô' m để hàm sô' y = — đạt giá X + m trị cực đại tại X = 2. 16 —00 a 5a +co y' + 0 — 0 + y +00 —00 Vì X = -7- là điểm cực đại nên — = a = 9 a 9 5 Bên cạnh đó, giá trị cực tiểu là sô' dương nên: Từ đó suy ra: y(l) = ^l + 2a-9 + b = |.-^ + 2f-|ì-9 + b>0 v ’ 3 3 25 V 5 J 36 , n , 36 --7-+ b > 0 b >-7- 5 5 Nếu a > 0 thì ta có bảng biến thiên: Giãi Ta có: D = R \ l-m} X2 + 2mx + m2 -1 (x + m) y’ = 0 X, = -m -1 V X, = -m + 1 Bảng biến thiên: Vậy hàm sô' đạt cực đại tại X = 2 -m -1 = 2« m = -3. |
