Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích là tài liệu hướng dẫn giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích. Đây là lớp các bài toán vận dụng cao số phức và thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh lớp 12 có thêm nhiều tài liệu tham khảo, củng cố kiến thức để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học kì và thi THPT Quốc gia đạt kết quả cao. Đồng thời đây cũng là tài liệu hữu ích giúp quý thầy cô có thêm nhiều tư liệu trong giảng dạy. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây. Hướng dẫn giải bài tập số phức bằng hình học giải tích Trang 1 MỞ ĐẦU Trong chương trình Toán THPT, phần Đại số mà cụ thể là phần Số học, ở chương trình lớp 12, học sinh được hoàn thiện hiểu biết của mình về các tập hợp số thông qua việc cung cấp một tập hợp số, gọi là Số phức. Trong chương này, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các số phức. Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức 2 z x yi x y i với mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ , ta thấy giữa Đại số và Hình học có mối liên hệ với nhau khá “gần gũi”. Hơn nữa, nhiều bài toán Đại số bên Số phức, khi chuyển sang Hình học, từ những con số khá trừu tượng, bài toán đã được minh họa một cách rất trực quan, sinh động và cũng giải được bằng Hình học với phương pháp rất đẹp. Đặc biệt, trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng và THPT Quốc gia những năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải quyết các bài toán về Số phức là một trong những phương pháp khá hay và hiệu quả, đặc biệt là các bài toán về Cực trị trong số phức. Hơn nữa, với những bài toán Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, nếu khi biểu diễn được trên giấy thì qua hình ảnh minh họa, ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng. Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung và Số phức nói riêng sang bài toán Hình học ở nhiều học sinh nói chung còn khá nhiều lúng túng, vì vậy việc giải các bài toán về Số phức gây ra khá nhiều khó khăn cho học sinh. Bài toán Cực trị Số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn để giải như dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, … Qua chuyên đề này, tôi muốn gợi ý cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt các phương pháp chuyển đổi từ bài toán Đại số sang Hình học cho học sinh, giúp các em có cái nhìn cụ thể hơn về việc chuyển đổi đó và vận duy tư duy này cho những bài toán khác. Với mục tiêu đó, trong chuyên đề này, tôi chỉ tập trung giải quyết bài toán theo hướng Hình học. Không đặt nặng việc so sánh phương pháp nào nhanh hơn, tối ưu hơn phương pháp nào. Trang 2 II. NỘI DUNG 1. Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu 1.1 Các định nghĩa và kí hiệu
Kí hiệu: Như vậy, 2
biểu thức gọi là một (dạng đại số) số phức. Phần thực; Phần ảo
giá trị biểu thức gọi là mô đun của Kí hiệu: . Như vậy,
Số phức ' ( )z x y i x yi gọi là số phức liên hợp của số phức Kí hiệu . Như vậy, thì
Xác định điểm trên mặt phẳng tọa độ . Điểm gọi là biểu diễn hình học của số phức Để cho tiện, trong tập tài liệu này, tôi kí hiệu hay đơn giản để chỉ là điểm biểu diễn cho số phức 1.2 Các phép toán trên tập hợp số phức Cho hai số phức 2 z x yi z x y i x y x y i + Phép cộng: ' ( ') ( ')z z x x y y i + Phép trừ: ' ( ') ( ')z z x x y y i + Phép nhân: . ' ( ' ') ( ' ' )z z xx yy xy x y i + Phép chia: với 1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc. + Với thì + Với ( ), ' '( ')M M z M M z thì + Với ( ), ( ), A B A A z B B z trong đó là hai số phức khác nhau cho trước thì tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức là đường trung trực của đoạn + Với 0 0 0 M M z , tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức 0 z z là đường tròn tâm bán kính R. Trang 3 2. Các bài toán BÀI TOÁN 1: Cho số phức 0 0 0 , ,z a b i a b và tập hợp các số phức thỏa mãn hệ thức:
để nhỏ nhất Nhận xét: + Gọi , 0 0 0 1 2 ( ); ( ); ( )M M z A A z B B z thì + Từ đẳng thức Suy ra, thuộc trung trực của đoạn AB. Bài toán chuyển thành:
0 với
sao cho 0 nhỏ nhất + Ta thấy, với mọi điểm thì 0 0 trong đó H là hình chiếu của M 0 lên Do đó, 0 0 z z d M Và để 0 nhỏ nhất với thì hay M là hình chiếu của M 0 lên . Lời giải - Từ hệ thức , suy ra phương trình đường thẳng + Với câu a), ta tính khoảng cách 0 d M Và kết luận, 0 0 z z d M + Với câu b), - Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 0 , vuông góc với (hoặc song song với - Giải hệ gồm hai phương trình: và d suy ra nghiệm Kết luận, số phức cần tìm là Đặc biệt: tức là tìm số phức sao cho mô đun của là nhỏ nhất. Ví dụ 1.1. Trong tất cả các số phức thỏa mãn 1 2 3 4 .z i z i Tìm giá trị nhỏ nhất của mô đun của A. B. C. D. Δ ( 1 ) ( 2 ) 0 |
