Để tìm cực trị của đồ thị hàm số thì bạn cần phải hiểu và nhớ rõ lý thuyết. Để học tốt bài 123hoidap.com giới thiệu đến bạn lý thuyết và các dạng bài tập cực trị của hàm số.
Giả sử hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K
a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0}
→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0}
→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Chú ý
- Điểm cực đại (cực tiểu) x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
- Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x0.
- Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.
Chú ý
- Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2
a) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lí 3
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b) Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
c) Nếu f’’(x0) = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
2. Phân dạng bài tập cơ bản về cực trị hàm số
Dạng 1: Tính đạo hàm để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Phương pháp
Quy tắc I
- Tìm tập xác định.
- Tính y’ = f’(x). Tìm x khi f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
- Tính các giới hạn cần thiết.
- Lập bảng biến thiên.
- Kết luận các điểm cực trị.
Quy tắc II
- Tìm tập xác định.
- Tính y’ = f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 để tìm các nghiệm x1, x2,… (nếu có) của nó.
- Tính f’’(x) và suy ra f’’(x1), f’’(x2),…
- Dựa vào dấu f’’(x1), f’’(x2),… để kết luận.
Ghi nhớ: Quy tắc II không dùng được trong trường hợp f’(x) = 0 vô nghiệm hoặc $\left\{ \begin{array}{l} f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\ f''\left( {{x_0}} \right) = 0 \end{array} \right.$
Ví dụ. Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0Chọn B
Tập xác định: D = ℝ.
Đạo hàm: y’ = 4x3 – 4x = 4x (x2 – 1)
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 = > y = 1\\ x = \pm 1 = > y = 0 \end{array} \right.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty $
Bảng biến thiên
Ta thấy: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, giá trị cực tiểu là yCT = 0; hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là yCĐ = 1. Do đó hàm số có ba cực trị.
Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên hoặc đạo hàm (cho sẵn).
Một số tính chất cần lưu ý
Cho hàm số f(x), g(x) cùng có đạo hàm trên tập D. Khi đó:
Phương pháp chung
– Đặt g(x) là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm g’(x).
– Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức để có được bảng xét dấu cho g’(x).
– Dựa vào bảng xét dấu dành cho g’(x) để kết luận về cực trị của hàm số.
– Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức:
Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số y = f(x) có giá trị cực tiểu bằng 1
B. Hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1
C. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1
D. Hàm số y = f(x) có đúng một cực trịChọn C
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
Tại x = 0 mặc dù đạo hàm f’(x) không tồn tại nhưng hàm số f(x) vẫn xác định và liên tục nên hàm số đạt cực đại tại x = 0.Dạng 3: Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của hàm số
Ta có: y = ax3 + bx2 + cx + d (*)
⟶ y’ = 3ax2 + 2bx + c
Phương pháp:
Điều kiện để hàm số có n cực trị hoặc không có cực trị.
Ta xét bảng sau (a và ∆ là của đạo hàm y’):
Từ bảng trên, ta khẳng định:
Điều kiện cực trị cơ bản:
– Hàm số có cực trị tại x = x0
Ta có: y’(x0) = 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi kết luận nhận hay loại giá trị m này.
– Hàm số đạt cực đại tại x = x0 (hoặc hàm số đạt cực tiểu tại x = x0)
Ta có: y’(x0) = 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi kết luận nhận hay loại giá trị m này (hoặc có thể thay m tìm được vào đạo hàm cấp hai để xét dấu xem có phù hợp không).
Đồ thị hàm số có điểm cực trị là M(x0; y0)
Để ý: Trong điều kiện trên, ta đã thay điều kiện ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a} < 0$ bởi ac < 0. Lý do là hai số trái dấu đồng nghĩa với tích và thương của chúng là một số âm. Một khi a, c trái dấu rồi thì điều kiện a ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac > 0 luôn được thỏa mãn
Vì vậy $\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0,\,\Delta > 0\\ {x_1}{x_2} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow ac < 0$
Ta có biến đổi tương đương sau đây (phù hợp trắc nghiệm):
(I là điểm uốn)
Lưu ý: Cách tìm điểm uốn I đồ thị bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d = 0 là: y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’’ = 6ax + 2b => $x = - \frac{b}{{3a}} = {x_I},\,$ thay ${x_I} = - \frac{b}{{3a}}$ vào hàm số ban đầu để tìm y$_I$ ⇒ I(x$_I$; y$_I$).
Các công thức giải tích liên quan:
a) Định lí Vi-ét: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) có hai nghiệm x1, x2
Ta có: $S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a};\,P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$
b) Công thức nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*)
c) Công thức hình học giải tích trong mặt phẳng:
Nếu △ABC có $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\\ \overrightarrow {AC} = \left( {{c_1};{c_2}} \right) \end{array} \right.$ thì ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{b_1}{c_1} - {b_2}{c_1}} \right|$
△ABC ⊥ tại A H52 ⇔ b1c1 + b2c2 = 0
$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + \sqrt {{{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} } $
Khoảng cách từ điểm M (xM ; yM ) đến ∆: ax + by + c = 0 là $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_M} + b{y_M} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
Đặc biệt: d(M; Ox) = |yM|, d(M; Oy) = |xM|
Ví dụ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx3 + x2 + (m2 – 6) x + 1 đạt cực tiểu tại x = 1
A. $\left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = - 4 \end{array} \right.$
B. m = 1
C. m = -4
D. m > – ⅓Tập xác định : D = ℝ
Đạo hàm: y’ = 3mx2 + 2x + m2 – 6
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y’(1) = 0 ⇒ 3m+ 2 + m2 – 6 = 0 ⇒ $\left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = - 4 \end{array} \right.$
Xét m = 1. Ta có y’ = 3x2 + 2x – 5; y’’ = 6x + 2. Khi đó y’’(1) = 8 > 0, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1. Vì vậy m = 1 thỏa mãn.
Xét m = -4. Ta có y’ = -12x2 + 2x + 10; y’’ = -24x + 2. Khi đó y’’(1) = -22 < 0, suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1. Điều này trái với giả thiết nên ta loại m = -4 .
Dạng 4: Bài toán tham số có liên quan đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (*)
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị y = ax3 + bx2 + cx + d (*):
Giả sử đồ thị hàm số (*) có hai điểm cực trị, ta thực hiện theo những cách sau để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó :
Phương pháp tự luận :
Chia f(x) cho f’(x) như sau:
Khi đó, hàm số được viết lại: f(x) = f’(x)․Q(x) + αx + β
Tọa độ các điểm cực trị thỏa H64 hay f(x) = αx + β
Phương pháp Trắc nghiệm:
- Cách viết 1: $y = \frac{2}{3}\left( {c - \frac{{{b^2}}}{{3a}}} \right)x + \left( {d - \frac{{bc}}{{9a}}} \right)$
- Cách viết 2: $y = f\left( x \right) - \frac{{f'\left( x \right).f''\left( x \right)}}{{18a}}$
Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (*):
Xét hình dáng đồ thị hàm bậc ba bên dưới (đồ thị có hai điểm cực trị A, B), nhìn vào đồ thị tại lân cận điểm A, ta thấy bề lõm của nó hướng xuống (lồi); nhìn vào đồ thị tại lân cận điểm B, ta thấy bề lõm của nó hướng lên trên (lõm). Vậy sẽ có một ranh giới để đồ thị chuyển từ lồi sang lõm, ranh giới ấy được gọi là điểm uốn của đồ thị (trong hình là điểm I).
– Đặc biệt: Nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B thì I sẽ là trung điểm của đoạn AB.
Cách tìm điểm uốn I:
- Bước 1: Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’’ = 6ax + 2b
- Bước 2: Cho y’’ = 6ax + 2b = 0 => $x = - \frac{b}{{3a}} = {x_I}$
Tính chất quan trọng: Điểm uốn I chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba tức là bất kỳ đường thẳng nào qua I nếu cắt đồ thị tại hai điểm còn lại M, N thì I luôn là trung điểm đoạn MN.
Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = x3 – x + m (1). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
A. $y = \frac{2}{3}x - m$
B. y = -x – m
C. $y = x + m - \frac{2}{3}$
D. $y = - \frac{2}{3}x + m$
Đánh giá :
Với bài toán này, xin được hướng dẫn hai cách để bạn đọc lựa chọn phương án tối ưu cho mình.
- Cách giải 1: Làm theo lý luận truyền thống.
- Cách giải 2: Dựa vào công thức đã cung cấp.
Với cách giải 1, ta thực hiện phép chia y cho y’ trong giấy nháp như sau :
Lời giảiCách giải 1:
Chọn D
Tập xác định : D = R
Cách giải 2:
Tập xác định: D = R
Dạng 5: Bài toán tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị hàm số y = ax4 + bx2 + c
Số cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + c
Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx = 2x (2ax2 + b); y’ = 0 <=>$\left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2a{x^2} + b = 0\left( x \right) \end{array} \right.$
Nhìn vào phương trình y’ = 0, ta thấy luôn có một nghiệm x = 0. Do đó việc biện luận tiếp theo sẽ phụ thuộc vào phương trình (*) . Từ (*) ta thấy:
Từ đây, ta có thể khẳng định:
- Hàm số không có cực trị ⇔ a = b = 0
- Hàm số có cực trị ⇔ a2 + b2 > 0
- Hàm số có một cực trị ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} ab \ge 0\\ {a^2} + {b^2} > 0 \end{array} \right.$
- Hàm số có ba cực trị ⇔ a․b < 0
Lưu ý: Việc sử dụng a2 + b2 > 0 là thể hiện a, b không đồng thời bằng 0, tuy nhiên BPT a2 + b2 > 0 mang tính phức tạp do bậc của m có thể ≥ 4. Để khắc phục điều này, ta dùng phương pháp phủ định như sau:
Xét $\left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 0 \end{array} \right.$ (giải tìm) $\left[ \begin{array}{l} m = {m_1}\\ m = {m_2}\\ .... \end{array} \right.$
Quay lại giải a2 + b2 > 0 tức là lấy phủ định kết quả của bước một. Ta có $\left\{ \begin{array}{l} m \ne {m_1}\\ m \ne {m_2}\\ .... \end{array} \right.$
Tìm điều kiện để hàm số y = ax4 + bx2 + c thỏa mãn điều kiện K:
- Bước 1: Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx = 2x (2ax2 + b). Khi đó y’ = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2a{x^2} + b = 0 \end{array} \right.$
- Bước 2: Điều kiện hàm số có một cực trị (hoặc có ba cực trị) – Xem mục 1 (lý thuyết).
- Bước 3: Dựa vào điều kiện K đề tìm tham số m rồi so sánh điều kiện có cực trị (bước 2) trước khi kết luận.
Xử lý điều kiện K (Công thức trắc nghiệm):
Hàm số có cực trị và thỏa mãn:
R, r theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác
a, b, c là độ dài ba cạnh;
$p = \frac{{a + b + c}}{2}$ là nửa chu vi tam giác
Ví dụ Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền [-10;10] để hàm số y = x4 – 2(2m + 1) x2 + 7 có ba điểm cực trị?
A. 20
B. 10
C. Vô số
D. 11.Chọn D
Cách 1: Tự luận
Tập xác định: D = ℝ .
Ta có y’ = 4x3 – 4(2m + 1) x
y’ = 0 ⇔ 4x3 – 4(2m + 1) x = 0 <=>$\left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 2m + 1\left( * \right) \end{array} \right.$
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m > -½ .
Vì m nguyên thuộc [-10;10] nên m ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Cách 2: Trắc nghiệm
Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi a․b < 0 ⇔ 1․[-2(2m + 1)] < 0 ⇔ 2(2m + 1) > 0 ⇔ m > -½.Dạng 6: Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của những hàm số khác.
Hàm số phân thức bậc hai trên bậc một $y = \frac{{A{x^2} + Bx + C}}{{dx + e}},\,d \ne 0$
Tập xác định: $D = R\backslash \{ - \frac{e}{d}\} $
Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên D. Ta xác định đồ thị hàm y = |f(x)|:
- Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) nằm phía trên trục hoành.
- Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm dưới trục hoành qua trục hoành.
Hợp của hai phần trên (bỏ phần dưới trục hoành), ta được đồ thị hàm y = |f(x)|.
Minh họa:
Đồ thị y = f(x)
Đồ thị y = |f(x)|
Đúc kết :
Số cực trị hàm y = |f(x)| = số cực trị hàm y = f(x) + Số giao điểm (không tính tiếp xúc) $\left\{ \begin{array}{l} \left( C \right):\,y = f\left( x \right)\\ Ox:\,y = 0 \end{array} \right.$
Hàm số y = f(|x|):
Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên D. Ta xác định đồ thị hàm y = f(|x|)
- Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) nằm bên phải trục tung (ứng với x ≥ 0); bỏ đi phần đồ thị y = f(x) nằm bên trái trục tung (ứng với x < 0)
- Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm bên phải trục tung qua trục tung.
Hợp của hai phần trên, ta được đồ thị hàm y = f(|x|)
Minh họa:
Đồ thị y = f(x)
Đồ thị y = f(|x|)
Đúc kết :
- Xét hàm đa thức f(x) có tập xác định là ℝ (chắc chắn đồ thị hàm này sẽ cắt Oy tại một điểm), ta có:
- Số cực trị hàm y = f(|x|) = 2 × Số cực trị nằm bên phải Oy của hàm y = f(x) +1
- Để cho dễ nhớ, ta gọi n là số cực trị dương của hàm số y = f(x), khi ấy số cực trị của hàm số y = f(|x|) bằng 2n + 1.
Ví dụ Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m + 1}}{{x - m}}$
A. m ∈ ℝ
B. m = 0
C. m = 1
D. m = -1Chọn A
Tập xác định: D = ℝ \{m}.
Đạo hàm: $y' = \frac{{{x^2} - 2mx - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \frac{{g\left( x \right)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ đổi dấu hai lần trên tập xác định ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {a_g} = 1 \ne 0\\ {\Delta _g}' = {\left( { - m} \right)^2} + {m^2} + 1 > 0\\ g\left( m \right) = {m^2} - 2{m^2} - {m^2} - 1 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{m^2} + 1 > 0\\ - 2{m^2} - 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in R \end{array}$
