You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
You're Reading a Free Preview
Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG GIỚI THIỆU Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số một biến độc lập, các đạo hàm của chúng và biến độc lập. Lý thuyết phương trình vi phân đã được khảo sát trong chương trình toán giải tích II. Phương trình đạo hàm riêng là phương trình chứa hàm số nhiều biến số, các đạo hàm riêng của chúng và các biến độc lập. Phương trình sóng điện từ Maxuell nói riêng và phương trình truyền sóng nói chung là những phương trình đạo hàm riêng thường được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý áp dụng trong điện tử viễn thông. Trong chương này ta khảo sát các khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng: Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, điều kiện biên, điều kiện đầu. Một vài phương pháp tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng. Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1, các phương trình tuyến tính cấp cao hệ số hằng dạng chính tắc. Giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace. Giải bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng: Công thức Kirchoff, Poisson, D’Alembert. Giải bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt. Để học tốt chương này học viên nên xem lại các kiến thức giải tích II: Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, tích phân mặt. Các định lý Green, Stock, Odstrograsky. NỘI DUNG 4.1. BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA 4.1.1. Phương trình dao động của sợi dây Trong mặt phẳng xét sợi dây AB ở vị trí cân bằng, nó song song với trục . Chúng ta nghiên cứu dao động ngang của sợi dây tức là trong quá trình chuyển động các chất điểm của nó luôn luôn dịch chuyển thẳng góc với trục (xem hình 4.1). Oxu OxOx 121 x u A B O b a x u 1M 2M O dxx + x )(xα )( dxx +α Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Giả sử sợi dây AB rất mảnh chịu uốn và có sức căng T tương đối lớn so với trọng lượng của nó. Vì vậy trong quá trình xem xét có thể bỏ qua trọng lượng của sợi dây. Gọi là độ lệch của dây so với vị trí cân bằng của điểm vật chất trên dây tại thời điểm . Coi rằng dao động là nhỏ nên ),( txu )(xMt1<<∂∂xu; Vậy có thể coi 02=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂xu. Từ giả thiết này ta thấy ngay trong quá trình dao động, độ dài ABl = không thay đổi. Thật vậy, độ dài của dây tại thời điểm t sẽ là thì 'l 2'1'bbxaaludxdxba=+ ≈=−=∫∫l Chính vì vậy, theo định luật Hook (số gia lực căng tỉ lệ với số gia của chiều dài của sợi dây), sức căng T của sợi dây tại mọi thời điểm và vị trí tx có cường độ như nhau: , . []baxTtxT ;,),(0∈∀=t∀Giả sử ngoại lực tác dụng vào dây có hướng song song với trục với hàm mật độ , gọi là tỉ khối của sợi dây. Ou),( txF )(xρXét dao động của đoạn dây có độ dài là . dxTheo định luật Newton ta có: 00"() sin( ) sin() (,)ttu x dx T x dx T x F x t dxρ αα= −+− + vì sin ( ) tg ( ) ( ,) '(,) " (,)xxxx dx xdx uxdxt u xt u xtdxxαα∂+≈ +=− + ≈− −∂ và sin ( ) tg ( ) ' ( , )xx xuxtα α≈=−. Vậy ),(")("0txFuTxuxxtt+=ρ. Đặt )(),(),(,)(02xtxFtxfxTaρ=ρ= ta được: (4.1) ),(""2txfuauxxtt+=Gọi (4.1) là phương trình dao động của sợi dây hay gọi là phương trình truyền sóng một chiều. Bài toán xét dao động của một thanh đàn hồi cũng dẫn đến phương trình dạng trên. Tương tự gọi phương trình dưới đây là phương trình truyền sóng hai chiều: ( )),,("""2tyxfuuauyyxxtt++= (4.2) Phương trình truyền sóng trong không gian (ví dụ: truyền âm): ( )),,,(""""2tzyxfuuuauzzyyxxtt+++= (4.3) 4.1.2. Các định nghĩa cơ bản a. Phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng là một phương trình liên hệ giữa hàm nhiều biến phải tìm , các đạo hàm riêng của chúng và các biến độc lập . ),...,,(21nxxxunxxx ,...,,21 122Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Các phương trình từ (4.1 ) đến (4.3) là các phương trình đạo hàm riêng mà các hàm phải tìm lần lượt là hàm của hai, ba và bốn biến. b. Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình đó. Vậy một phương trình đạo hàm riêng cấp m có dạng tổng quát sau đây: 221211211,,,, ,, , , ,, ,, 0mmnmmnnuuuu u uFx x uxx xxxxx⎛⎞∂∂∂∂ ∂ ∂=⎜⎟⎜⎟∂∂ ∂∂∂∂∂⎝⎠"" "" (4.4) Trong phương trình trên có mặt ít nhất một đạo hàm riêng cấp m. c. Phương trình (4.4) gọi là tuyến tính nếu F là một hàm tuyến tính đối với hàm số phải tìm u và và các đạo hàm riêng của nó. Phương trình không tuyến tính gọi là phi tuyến, Nếu F là hàm phi tuyến nhưng tuyến tính đối với đạo hàm riêng cấp cao nhất thì gọi đó là phương trình á tuyến. Ví dụ 4.1: 0)(3cossin25222222=−+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂∂+∂∂uyxyuexuyyuyxyxuxuxy là phương trình tuyến tính cấp 2. 0cos3cossin222222222=+∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂−∂∂∂+∂∂uyuexuyyuyxyxuxuxy là phương trình á tuyến. d. Hàm số gọi là một nghiệm của (4.4) nếu thay nó vào phương trình sẽ được một đồng nhất thức đối với các biến trong một miền xác định nào đó. Chẳng hạn có thể dễ dàng kiểm tra được hàm số là một nghiệm của phương trình: ),...,,(21nxxxuu =nxxx ,...,,2122yxu +=022222=∂∂−∂∂∂+∂∂yuyxuxu. 4.1.3. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên Nói chung các quá trình vật lý xảy ra là một quá trình không dừng, tức là không những phụ thuộc vào vị trí mà còn phụ thuộc vào thời gian. Yếu tố khởi đầu của quá trình đóng vai trò cơ bản vào cả quá trình. Mô hình toán học phản ánh điều đó thông qua dạng hệ thức giữa các giá trị của tham số đã biết và các đạo hàm riêng của chúng tại thời điểm ban đầu. Các hệ thức này gọi là các điều kiện ban đầu. Bài toán tìm nghiệm của phương trình với điều kiện ban đầu gọi là bài toán Cauchy. Chẳng hạn, bài toán về dao động của dây có thể cho điều kiện ban đầu là gọi là dạng ban đầu của dây. )()0,( xxu ϕ= )()0,(xtxuϕ=∂∂ gọi là vận tốc ban đầu của dây. Quá trình vật lý xảy ra trong miền hữu hạn 3⊂Ω, đương nhiên nó phải quan hệ mật thiết với phần còn lại của không gian. Hệ thức mô tả quan hệ giữa các giá trị của tham số đã biết và các đạo hàm riêng của chúng trên biên của Ω gọi là các điều kiện biên. 123Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Chẳng hạn đối với phương trình (4.1), điều kiện ở đầu mút bên trái có thể là: 0),(,0),( =∂∂=ttautau: tức là đầu mút bên trái luôn buộc chặt. Bài toán với điều kiện biên cụ thể có các tên riêng, như bài toán Dirichlet. Bài toán gồm cả điều kiện ban đầu và điều kiện biên gọi là bài toán hỗn hợp. 4.1.4. Khái niệm về tích phân tổng quát Như ta đã biết, đối với phương trình vi phân thường, tồn tại các nghiệm dạng tổng quát phụ thuộc vào một vài tham số mà một nghiệm riêng bất kỳ có thể nhận được bằng cách cho tham số của nghiệm tổng quát những giá trị cụ thể nào đó. Một vài dạng nghiệm tổng quát có thể tìm được bằng cách tích phân của phương trình. Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng vậy, sẽ có nghiệm tổng quát bằng cách tính tích phân của phương trình. Tuy nhiên có sự khác nhau cơ bản so với phương trình vi phân thường, ở đây nghiệm tổng quát phụ thuộc vào các hàm số tuỳ ý chứ không phải các hằng số tuỳ ý như phương trình vi phân thường. Để minh họa điều này chúng ta hãy xét ví dụ sau Ví dụ 4.2: Xét phương trình: 02=∂∂∂yxu (4.5) Phương trình (4.5) viết dưới dạng: )(0 xxuxuyϕ=∂∂⇒=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂. Vậy )()(),( ygdxxyxu +ϕ=∫ )()(),( ygxfyxu += (4.6) ở đây f(x), g(y) là các hàm tuỳ ý và gọi là tích phân tổng quát của phương trình (4.5). 4.1.5. Ứng dụng của biến đổi Laplace để giải phương trình đạo hàm riêng Có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 dạng: 0122122=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂cuxubtubxuatua. (4.7) thuộc loại Hyperbolic hay Parabolic và các hệ số của phương trình chỉ phụ thuộc x chứ không phụ thuộc t (trong các bài toán thực tế biến số tlà biến thời gian, ). 0≥tGiả sử 22,,),(xuxutxu∂∂∂∂ là các hàm gốc đối với biến t khi cố định biến x. Đặt: (4.8) {}dttxuetxusxUst∫∞−==0),(),(),(LDựa vào tính hội tụ đều của tích phân suy rộng (4.8) ta chứng minh được: 124Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng )0,(),( xusxsUtu−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂L ; )0,()0,(),(222xtuxsusxUstu∂∂−−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂L (4.9) xUxu∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂L ; 2222xUxu∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂L (4.10) Thay (4.8)-(4.10) vào (4.7) ta được phương trình ảnh. Giải phương trình ảnh ta được nghiệm ảnh . Biến đổi Laplace ngược của là nghiệm của phương trình (4.7). ),( sxU ),( sxU Ví dụ 4.3: Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: 0,222>∂∂=∂∂axuatu; 0;0 ><< tlx với điều kiện đầu xxu π= 2sin3)0,( và điều kiện biên . ⎩⎨⎧==0),(0),0(tlutuGiải: Thay (4.8)-(4.10) vào phương trình trên ta được phương trình ảnh xsUxUaxUaxusU π−=−∂∂⇒∂∂=− 2sin3)0,(222222 (*) Nếu xem là tham số thì phương trình ảnh (*) là phương trình tuyến tính cấp 2 đối với biến sx có nghiệm tổng quát: xaseCeCsxUxasxasππ+++=−2sin43),(2221. Từ điều kiện biên { }0),0(),0( == tusUL và { }0),1(),1( == tusUL. Suy ra: 000212121=−=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+−CCeCeCCCasas. Do đó xassxU ππ+= 2sin43),(22. Vậy . {}xesxUtxutaπ==π−−2sin3),(),(2241L4.2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1 4.2.1. Phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất Phương trình dạng ∑==∂∂nkknkxuxxX110),...,( (4.11) 125Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1. Ta xét trường hợp phương trình (4.11) với giả thiết các hàm nkxxXnk,1,),...,(1= là các hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng tại lân cận điểm và không đồng thời triệt tiêu tại ),...,(0010nxxX =0X, chẳng hạn ( )00≠XXn. (4.12) Rõ ràng mọi hàm hằng Cxxun=),...,(1 (C là hằng số nào đó) là nghiệm của (4.11) . Ta gọi đó là nghiệm tầm thường. Sau đây ta sẽ tìm nghiệm không tầm thường của (4.11). Gọi hệ phương trình vi phân dạng đối xứng: nnXdxXdxXdx=== "2211 (4.13) là hệ đối xứng tương ứng với phương trình (4.11). Kết hợp với điều kiện (4.12), hệ (4.13) có thể viết dưới dạng chuẩn tắc sau: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==−−nnnnnnXXdxdxXXdxdx1111"""" (4.14) Hàm số ),...,(1nxxϕ=ϕ khả vi liên tục và không phải là hàm hằng được gọi là tích phân của (4.13) hay (4.14) nếu nó trở thành hàm hằng khi thay bởi bất kỳ một nghiệm riêng nào của hệ đó. 11,...,−nxxĐịnh lý 4.1: a. Nếu ),...,(1nxxϕ=ϕ là tích phân của (4.13) thì hàm số ),...,(1nxxu ϕ= là một nghiệm của (4.11). b. Ngược lại, nếu ),...,(1nxxu ϕ= khác hằng số là một nghiệm của (4.11) thì ),...,(1nxxϕ=ϕ là tích phân của (4.13). Như vậy việc tìm nghiệm của (4.11) đưa về việc tìm các tích phân của (4.13). Lý thuyết phương trình vi phân chỉ ra rằng hệ (4.13) có 1−n nghiệm độc lập. Vậy nếu tìm được 1−n tích phân độc lập của hệ (4.13) là 1,...,1;),...,(1−=ϕ=ϕ nixxnii. Khi đó hàm số: ( )121,...,,−ϕϕϕΦ=ϕn trong đó Φ là hàm số tuỳ ý khả vi liên tục, cũng là tích phân tổng quát của hệ (4.13). Vì vậy hàm số: ( )121,...,,−ϕϕϕΦ=nu (4.15) là nghiệm tổng quát của (4.11). Ví dụ 4.4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 126Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 0=∂∂+∂∂+∂∂zuzyuyxux Giải: Hệ đối xứng tương úng: zdzydyxdx== hay ⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==zCyzCxzdzydyzdzxdx21 trong đó là hằng số tuỳ ý. 21,CCDễ thấy 0;,21≠=ϕ=ϕ zzyzx là hai tích phân độc lập của hệ đối xứng trên, vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: ⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ=zyzxu, với Φ là hàm khả vi liên tục bất kỳ. 4.2.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương trình dạng ∑==∂∂nknknkuxxfxuuxxX111),,...,(),,...,( (4.16) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1. Ta xét trường hợp phương trình (4.16) với giả thiết các hàm ,),,...,(1uxxXnknk ,1= và là các hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng tại lân cận điểm . Các hàm này không đồng thời triệt tiêu tại , chẳng hạn ),,...,(1uxxfn),,...,(00010uxxYn=0Y( )00≠YXn. Chúng ta sẽ tìm nghiệm của (4.16) dưới dạng ẩn: 0),,...,(1=uxxVn, trong đó khả vi liên tục và V0)(0≠∂∂YuV. Theo định lý hàm ẩn suy ra niuVxVxuii,1; =∂∂∂∂−=∂∂. Vậy ∑==∂∂+∂∂nknknkuVuxxfxVuxxX1110),,...,(),,...,(. (4.17) Đó là phương trình tuyến tính thuần nhất được trình bày ở đoạn trên. Gọi niuxxnii,...,1;),,...,(1=ϕ=ϕ là các tích phân độc lập của hệ đối xứng tương ứng với (4.14). Khi đó nghiệm tổng quát của (4.17) là: ( )nV ϕϕϕΦ=,...,,21. 127Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Suy ra tích phân tổng quát của (4.17) ( )0,...,,21=ϕϕϕΦn. Với Φ là hàm tuỳ ý khả vi liên tục. 4.2.3. Nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình thuần nhất Xét bài toán Cauchy: Hãy tìm nghiệm ),...,,(21nxxxuu = của phương trình ∑==∂∂nkknkxuxxX110),...,( (4.18) Thoả mãn điều kiện: (4.19) ),...,,(),,...,,(1210121−−ϕ=nnnxxxxxxxuTrong đó niXi,1; = liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp 1 ở lân cận ( )002010,...,,nxxxX = và ϕ là hàm khả vi liên tục. Để giải bài toán (4.18) - (4.19) ta làm như sau: ♦ Lập hệ đối xứng tương ứng của (4.18) và tìm 1−n tích phân độc lập của hệ đó: 1,...,1;),...,(1−=ϕ=ϕ nixxnii ♦ Lập hệ phương trình với các ẩn số 121,...,,−nxxx⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕϕ=ϕ−−−−1011110111),,...,(),,...,(nnnnnnxxxxxx""""""""""" và giải hệ phương trình này được ( )()⎪⎩⎪⎨⎧ϕϕψ=ϕϕψ=−−−−11111111,...,,...,nnnnxx"""""""""" ♦ Thay 121,...,,−ϕϕϕn bằng các hàm số 121,...,,−ϕϕϕn ta được nghiệm của bài toán Cauchy (4.18)-(4.19): ()),...,,(,...,),...,,(12111211 −−−ϕϕϕψϕϕϕψϕ=nnnu. (4.20) Thật vậy, theo (4.16) thì u là nghiệm của (4.18), chúng ta kiểm tra điều kiện (4.19). ()),...,,(),...,,(,...,),...,,(121121112110−−−−=ϕ=ϕϕϕψϕϕϕψϕ=nnnnxxxxxunn. Nhận xét: 128Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 1. Trong các bài toán thực tế biến thứ biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian do đó thường được ký hiệu là t thay cho . Lúc đó điều kiện (4.19) của bài toán Cauchy được gọi là điều kiện đầu. nnx2. Quá trình tìm nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình không thuần nhất là tương tự vì chúng ta đưa về phương trình thuần nhất (4.17). Thí dụ dưới đây sẽ minh họa điều đó. Ví dụ 4.5: Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau ⎪⎩⎪⎨⎧−==∂∂++∂∂=4),()(22yyxuuyuxyxuxx Giải: Đưa về dạng thuần nhất (4.17):0)(2=∂∂+∂∂++∂∂uVuyVxyxVxcó nghiệm dưới dạng hàm ẩn . ()0),(,, =yxuyxVHệ phương trình vi phân đối xứng dạng (4.13) tương ứng: uduxydyxdx=+=2. )(12xCxyxxydxdyxydyxdx+=⇒+=⇒+= (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1). xCuuduxdx2=⇒=. Do đó nhận được hai tích phân độc lập xuuyxxxyuyx =ϕ−=ϕ ),,(,),,(221. Giải hệ phương trình ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ϕ==ϕϕ=−=ϕ22112),,2(24),,2(uuyyuy Nhận được: ⎩⎨⎧ϕ=+ϕ=21242uy Điều kiện (4.19) tương ứng ( )0),2(,,2 =yuyV là 4),2( −= yyu suy ra 1222 ϕ=ϕ hay 12ϕ=ϕ. Công thức (4.15): xxyxu2−=. Vậy là nghiệm cần tìm. 2xyu −=4.3. PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG RIÊNG TUYẾN TÍNH CẤP 2 TRƯỜNG HỢP HÀM HAI BIẾN Xét phương trình: 0),,,,(),(),(2),( =+++yxyyxyxxuuuyxFuyxcuyxbuyxa (4.21) trong đó ký hiệu: 129Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng xu thay cho xuux∂∂='; thay cho xxu22"xuuxx∂∂=; thay cho xyu"yxuuxy∂∂∂=2" (4.22) ),(),,(),,( yxcyxbyxa là các hàm liên tục trong 2⊂Ω. F là hàm liên tục và biểu diễn tuyến tính đối với . yxuuu ,,Ta phân loại (4.21) tại Ω∈),(000yxM như sau: a. Phương trình (4.21) thuộc loại hyperbolic tại nếu 0M0)(02>−Macb. b. Phương trình (4.21) thuộc loại elliptic tại nếu 0M0)(02<−Macb. c. Phương trình (4.21) thuộc loại parabolic tại nếu 0M0)(02=−Macb. Phương trình (4.21) thuộc loại hyperbolic (elliptic, parabolic) tại mọi điểm Ω∈),( yxM thì ta nói rằng nó thuộc loại hyperbolic (elliptic, parabolic) trên miền Ω. Dưới đây sẽ dùng các phép biến đổi thích hợp để đưa (4.21) về dạng rút gọn, gọi là các phương trình chính tắc của nó. Xét phép biến đổi không suy biến với điều kiện ⎩⎨⎧η=ηξ=ξ),(),(yxyx0),(),(≠ηξ=yxDDJ. (4.23) Trong phép biến đổi này ta giả thiết rằng ),(),,( yxyx ηξ là các hàm khả vi liên tục đến cấp 2. Định lí 4.2: Loại của phương trình (4.21) (tại 1 điểm hay trên 1 miền) không thay đổi qua phép biến đổi không suy biến (4.23). Chứng minh: Từ (4.23), áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, suy ra: yyyxxxuuuuuu η+ξ=η+ξ=ηξηξ, xxxxxxxxxxuuuuuu η+ξ+η+ηξ+ξ=ηξηηξηξξ222 xyxyyxxyyxyxxyuuuuuu η+ξ+ηη+ηξ+ηξ+ξξ=ηξηηξηξξ)( yyyyyyyyyyuuuuuu η+ξ+η+ηξ+ξ=ηξηηξηξξ222 Thay vào (4.21) nhận được: 0),,,,(),(),(2),(1111=ηξ+ηξ+ηξ+ηξηξηηξηξξuuuFucubua (4.24) trong đó: , (4.25) 2212),(yyxxcbaa ξ+ξξ+ξ=ηξyyxyyxxxcbab ηξ+ηξ+ηξ+ηξ=ηξ )(),(1, (4.26) 130Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng 2212),(yyxxcbac η+ηη+η=ηξ. (4.27) Từ đó suy ra ( )221121Jacbcab −=−. Chứng tỏ và cùng đấu. Định lí được chứng minh. 1121cab −acb −2Chú ý 1: Từ (4.25)-(4.27) ta nhận thấy rằng nếu muốn 01=a hoặc qua phép biến đổi không suy biến 01=c),(,),( yxyx η=ηξ=ξ thì hàm số này phải thỏa mãn phương trình sau gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (4.21) (4.28) 0),(),(2),(22=ϕ+ϕϕ+ϕyyxxyxcyxbyxaBổ đề: Giả sử ),( yxϕ khả vi liên tục trên Ω và trên đó . Để là nghiệm riêng của (4.26) cần và đủ là 022>ϕ+ϕyx),( yxϕ=ϕCyx =ϕ ),( (C là hằng số) là tích phân tổng quát của phương trình vi phân sau (4.29) 0)(),(),(2)(),(22=+− dxyxcdxdyyxbdyyxaPhương trình vi phân cấp 1 không tuyến tính (4.29) cũng gọi là phương trình các đường đặc trưng của (4.21). Phương trình (4.29) thường viết dưới một trong hai dạng sau đây: )0(,0'2)'(2≠=+− acybya (4.30) )0(,0)'('22≠=+− cxcxba (4.31) Bây giờ tùy theo dấu của biểu thức sẽ tìm được phép biến đổi thích hợp (4.23) để đưa phương trình (4.21) về dạng chính tắc. acb −=Δ21. Trường hợp 2'bac0Δ =−>: phương trình thuộc loại hyperbolic a. Nếu ( cũng tương tự). 0≠a0≠cPhương trình đặc trưng (4.30) cho hai phương trình tương đương ''bya−Δ= và ''bya+ Δ= Từ đó tìm được hai tích phân tổng quát tương ứng 11),( Cyx =ϕ và ; 22),( Cyx =ϕ21, CC là các hằng số tùy ý. Ta thực hiện phép đổi biến: thì phương trình (4.25) có dạng: ⎩⎨⎧ϕ=ηϕ=ξ),(),(21yxyx (4.32) ),,,,(*1 ηξξηηξ= uuuFutrong đó đặt 11*12bFF −=. b. Nếu thì vì 0,0 == ca0≠b'0Δ >. Rõ ràng khi đó phương trình có dạng (4.32). 131Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Nếu thực hiện phép biến đổi: thì (4.32) đưa về dạng: ⎩⎨⎧β−α=ηβ+α=ξ (4.33) ),,,,(**1 βαββααβα=− uuuFuuCác phương trình (4.32), (4.33) đều gọi là dạng chính tắc của phương trình loại hyperbolic (4.21). 2. Trường hợp : phương trình thuộc loại elliptic. 02<−=Δ acbVì nên . Phương trình đặc trưng (4.30) cho hai phương trình vi phân tương đương với nó. acb <≤200, ≠ca ''biya−−Δ= và ''biya+ −Δ= Từ đó tìm được hai tích phân tổng quát: 1),( Cyx =ϕ và 2),( Cyx =ϕ; ),( yxϕ là liên hợp của . ),( yxϕGiả sử ),(),(),( yxiyxyx β+α=ϕ. Ta thực hiện phép đổi biến: ⎩⎨⎧β=βα=α),(),(yxyxKhi đó phương trình (4.24) đưa về dạng: (4.34) ),,,,(*2 βαββααβα=+ uuuFuutrong đó đặt 11*2aFF −=. Gọi (4.34) là dạng chính tắc của phương trình elliptic (4.21) 3. Trường hợp 2'bac0Δ =−=: phương trình thuộc loại parabolic. a. Nếu thì và cùng dương hoặc cùng âm. Khi đó phương trình đặc trưng (4.30) dẫn đến phương trình vi phân tương đương với nó: 0≠b0≠acca,aby =' Giả sử phương trình trên cho tích phân tổng quát là ),( yxϕ = const. Theo bổ đề là nghiệm của ( 4.28). Thực hiện phép đổi biến ),( yxϕ=ϕ ⎩⎨⎧ψ=ηϕ=ξ),(),(yxyxtrong đó được chọn sao cho nó độc lập với ),( yxψ ),( yxϕ tức là 0),(),(≠ηξyxDD. Với phép biến đổi trên phương trình ( 4.24) dẫn về dạng: ),,,,(***1 ηξηηηξ= uuuFu (4.35) 132Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng trong đó: 11***1cFF −= b. Nếu thì hoặc 0=b0,0 ≠= ca 0,0 =≠ ca bản thân ( 4.21) có dạng (4.35). Gọi ( 4.35) là dạng chính tắc của phương trình parabolic. Từ sự phân loại trên kết luận rằng: Phương trình truyền sóng thuộc loại hyperbolic. Phương trình Laplace thuộc loại elliptic. Phương trình truyền nhiệt thuộc loại parabolic. Ví dụ 4.6: Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình dao động của dây: . const,2== auauxxttGiải: Thực hiện phép biến đổi: ⎩⎨⎧−=η+=ξatxatxPhương trình đưa về dạng 0=ξηu. Theo Ví dụ 4.1 ta được nghiệm tổng quát có dạng: )()()()( atxgatxfgfu −++=η+ξ=; là hai hàm tùy ý. gf ,4.4. DẠNG CHÍNH TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ HẰNG SỐ Chúng ta xét phương trình: 0),(221=++++++ yxfueududucubuayxyyxyxx (4.36) ở đây là các hằng số; là hàm liên tục trong miền eddcba ,,,,,21),( yxf2⊂Ω nào đó. Rõ ràng phương trình đặc trưng của (4.32) cũng có hệ số hằng số, các tích phân tổng quát hay gọi là các đặc trưng của nó là các đường thẳng. Cxaacbbdxaacbby +−±=−±=∫22 Thực hiện các phép biến đổi thích hợp đã trình bày trong mục 3. phương trình (4.36) được dẫn về một trong các dạng sau: a. Dạng phương trình elliptic 0),(21=+++++ηξηηξξyxfueududuu. (4.37) b. Dạng phương trình hyperbolic: 0),(21=++++ηξξηyxfueududu (4.38) hay 0),(21=++++−ηξηηξξyxfueududuu. c. Dạng phương trình parabolic 0),(21=++++ηξξξyxfueududu (4.39) 133Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên, chúng ta còn có thể đơn giản hóa các phương trình trên nhờ vào việc đổi biến: βη+αξ= evuTrong đó sẽ được chọn thích hợp. Chẳng hạn xét phương trình (4.37). Theo biến mới, hãy thay các biến thức sau vào (4.37). βα, () ( )vveuvveu β+=α+=ηβη+αξηξβη+αξξ,. ( )( )vvvveuvvveu αβ+β+α+=α+α+=ξηξηβη+αξξηξξξβη+αξξξ,22. ( )vvveu22 β+β+=ηηηβη+αξηη. ( )0)2()2(1212221=++β+α+β+α+β++α+++⇒ηξηηξξfveddvdvdvv. Lấy 2,221dd−=β−=α. Khi đó (4.37) có dạng 0),(1=ηξ+γ++ηηξξfvvv. (4.40) Tương tự (4.38)-(4.39) đưa về dạng 0),(1=ηξ+γ+ξηfvv. hay 0),(1=ηξ+γ+−ηηξξfvvv. (4.41) 0),(12=ηξ++ηξξfvbv. (4.42)' Sau đây chúng ta giải quyết các bài toán tương ứng với từng loại phương trình với hệ số hằng dạng chính tắc. 4.5. PHƯƠNG TRÌNH LOẠI ELLIPTIC 4.5.1. Phương trình Laplace và hàm điều hòa Toán tử Laplace: 222222zyx ∂∂+∂∂+∂∂=Δ Phương trình Laplace là phương trình có dạng: 0=Δu Theo ký hiệu (4.22) phương trình Laplace được viết lại: 0=++zzyyxxuuu (4.43) Hàm thỏa mãn phương trình (4.43) trong miền bị chặn ),,( zyxu3⊂Ω gọi là hàm điều hòa trong Ω. Nếu không bị chặn trong , hàm gọi là điều hòa trên Ω nếu nó điều hòa tại mọi điểm của , ngoài ra thỏa mãn đánh giá: Ω3),,( zyxuΩ222(, ,) , 0,Cuxyz C r x y zr≤>=++ 134 |
