Sử đúng phương pháp quy nạp toán học chứng minh với n nguyên dương chứng minh n nn

Bài 5 trang 83 sgk toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học. Bài 5. Chứng minh rằng

Bài 5. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \(n\) cạnh là \({{n(n – 3)} \over 2}\)

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay \(n = 4\) vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: \({{4(4 – 3)} \over 2} = 2\)

Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\).

Giả sử khẳng định đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là đa giác lồi \(k\) cạnh có số đường chéo là \({{k(k – 3)} \over 2}\)

Ta phải chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\). Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi \(k + 1\) cạnh có số đường chéo là \({{(k + 1)((k + 1) – 3)} \over 2}\) Xét đa giác lồi \(k + 1\) cạnh 

Nối \(A_1\) và \(A_k\), ta được đa giác \(k\) cạnh \(A_1A_2…A_k\) có \({{k(k – 3)} \over 2}\) đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối \(A_{k+1}\) với các đỉnh \(A_1,A_2..A_{k-1}\), ta được thêm \(k -2\) đường chéo, ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là

   \({{k(k – 3)} \over 2}+ k – 2 + 1 ={{{k^2} – k – 2} \over 2} = {{(k + 1)((k + 1) – 3)} \over 2}\)

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC KIẾN THỨC CẢN BẢN PHÉP CHỨNG MINH BANG QUY NẠP GỒM HAI BƯỚC SAU Bùớc 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2. Giả thiết mệnh để đúng với một số tự nhiên bất kì n = k > 1 (giả thiết này dược gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên đúng với n = p, ỏ' bước 2), ta giả thiết mệnh để đúng với số tự nhiên bất kì n = k > p và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Trường hợp thường gặp nhất là n = 1. . , 111 2 4 8 c) 12 + 22 + 32 +. . + n + (3n-1) = (1) 1 2n-1 (2) 2" “ 2n , n2 n(n + l)(2n + l) 6 (3) PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng với n e N’ ta có các đẳng thức: c^lải 1.4 Với n = 1, ta có 2 = -^-(đúng). Vậy (1) đúng với n = 1. 2 Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có: 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) = k-3k + 1) Ta phải chứng minh (1) đúng với 11 = k + 1, tức là phải chứng minh: 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + (3k + 2) = + 4) . Thật vậy, ta có: 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + (3k + 2) = k-(3k + + (3k + 2) 2 _ 3k2 + k + 6k + 4 3k2 + 7k + 4 (k + l)(3k + 4) 2 - 2 - 2 Vậy (1) đúng với mọi n - k +1 nên (1) đúng với mọi n e N*. 12-1 Với 11 = 1, ta có 4 = (đúng). Vậy (2) đúng với n = 1. 2 2 _ 111 1 2-1 Giả sử (2) đúng với n = k tức là ta có: T + — + 4 + ••• + K = —7— 2 4 8 2k 2k Ta chứng minh (2) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh 1 2k+1 1.1.1. .1 1 ■ + — + — + ... + —r- + 2 4 8 Thật vậy, ta có: 2k+1 -1 ok + 1 111 “4—— 4- — 4- ... 4 — 4- 2 4 8 2k 2k+1 1 1 2k -1 1 2k+1-2+l 2k+1 -1 2k + 2k+1 }k + l Vậy (2) đúng với n = k + 1 nên (2) đúng với mọi n e N*. c) Với n = 1 ta có l2 = 1.2.3 (đúng). Vậy (3) đúng với n = 1. , ,,,,, ,2 ,2 k(k +1)(2k +1) Giả sử (3) đúng với n = k thì là ta có: 1 + 22 + ...+ k2 = —- 4— 6 Ta chứng minh (3) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh -.2 r*2 ,2 ,1 , ,2 (k + l)(k + 2)(2k + 3) l2 + 22 + ... + k2 + (k + l)2 = 1 11—4-11 Thật vậy, ta có: l2 + 22 + ...+ k2 + (k+ l)2 k(k + l)(2k +1)+ 6(k +1)2 k(k + l)(2k +1) + (k + l)2 = i(k + l)(2k2 + k + 6k + 6) 6 = 4(k + l)(k + 2)(2k + 3) 6 Vậy (3) đúng với n = k + 1 nên (3) đúng với mọi n e 14*. Chứng minh rằng với n e N' ta có: n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 (1); 4" + 15n - 1 chia hết cho 9 (2); n3 + 11n chia hết cho 6 (3). ỐỊiải Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n. Với n = 1 tả có l3 + 3.12 + 5.1 = 9 : 3. Vậy (1) đúng với n = 1. Giả sử (1) đúng với n = k, tức là sk = k:i + 3k2 + 5k : 3. Vậy Sn : 3 với mọi n e N*. Đặt sn = 4" + 15n - 1. Với n = 1, ta CÓ Si = 18 : 9. Vậy (2) đúng với n = 1. Giả sử (2) đúng với n = k, tức là: sk = 4k + 15k - 1 : 9 => 4k + 15k - 1 - 9m (với m <= N*). Khi đó ta có: Sk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) - 1 = 4.4k + 15k + 14 = 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 45k + 18 - 9(4m - 5k + 2) : 9 Vậy (2) đúng với n = k + 1 nên (đúng với mọi n e N*). Đặt sn = n3 + lln với n = 1, ta có S] = 12 : 6. Vậy (3) đúng với n = 1. Giả sử (3) đúng với n = k, tức là sk = k3 + Ilk -6. Ta phải chứng minh Sk+1 : 6. Thật vậy: Sk+1 = (k + l)3 + ll(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + llk + 11 = k3 + llk + 3(k2 + k + 4) ỉ 6 (Vì sk : 6 và k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 : 2) Vậy (3) đúng với n = k + 1 nên (3) đúng với mọi n e N*. Chứng minh với mọi số tự nhiên n > 2 ta có các bất đẳng thức: 3" > 3n + 1 (1): 2"*' > 2n + 3 (2). ốịlài Với n = 2, ta có 32 > 3.2 + 1 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 2. Giả sử (1) đúng với n - k > 2, tức là 3k > 3k + 1 (*) Ta chứng minh (1) đúng với n = k +1, ta là chứng minh 3k+1 > 3(k + 1) + 1 (**) Thật vậy, từ (*) ta có 3k+1 = 3.3k > 3(3k + 1) Đế’ có (**) ta chứng minh: 3(3k + 1) > 3(k + 1) + 1 9k + 3 > 3k + 4 o 6k > 1 (luôn đúng với mọi k > 2) Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) đúng với mọi sô’ tự nhiên n > 2. Với n = 2 ta có 23 > 2.2 + 3 (đúng). Vậy (2) đúng với n = 2. Giả sử (2) đúng với n = k > 2, ta có 2k+1 > 2k + 3. Ta chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: 2k+2 > 2k + 5. Thật vậy ta có: 2k+2 = 2.2k+1 > 2(2k + 3) = 4k + 6>2k + 5 với mọi k > 2 Vậy (2) đúng với n = k + 1 nên (2) đúng với mọi sô’ tự nhiên n > 2. 4. Cho tổng Sn = —7?+ 77^7+ ■■■-*■ , 1 . 1.2 2.3 n(n + l) với n 6 N*. Tinh s,, s2, s3. Dự đoán công thức tính tổng s„ và chứng minh bằng quy nạp. Ốịlảí a) Tacó:S, = = j; S2=^ + A- = l; S3=A + —+ -1 1.2 2.3 3 1.2+ 2.3 3.4 4 b) Dự đoán: Sn = (*) Chứng minh (*) bằng quy nạp với n e N* Với n = 1 ta có Si = . Vậy (*) đúng với n = 1 2 1 1 1 k Giả sử (*) đúng với n = k, tức là sk = - + -y— + ... + , -- = , 1.2 2.3 k(k + l) k + 1 Ta chứng minh (*) đúng với k + 1 tức là chứng minh Q 1 , 1 Sk+1 — "• 4- 4^ ... 4- 1.2 2.3 1 1 _k+1 k(k + 1) + (k + l)(k + 2) ■ k + 2 Thật vậy, ta có: Sk+1 = Sk + 1 k 1 k(k + 2) +1 (k + l)(k + 2) ■ k + 1 + (k + l)(k + 2) - (k + l)(k + 2) (k + 1)2 k + 1 - (k + l)(k + 2)'~ k + 2 Vậy (*) đúng với n = k + 1 nên (*) đúng với mọi n e N*. n(n-3) 5. Chứng minh sô' đường chéo cùa một đa giác lói n cạnh là . Ốịiải Với n = 4, ta có tứ giác. Thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: itva =2. Vậy khẳng định là đúng với n = 4. Giả sử đa giác lồi k cạnh (k > 4) có số đường k(k-3) chéo là (giả thiết quy nạp). Xét đa giác lồi k + 1 cạnh. Ta phải chứng minh công thức đúng với k + 1, nghĩa là phải chứng minh (k + l)[(k + 1) - 3] đa giác lồi k + 1 cạnh có số đường chéo là đường chéo Nô'i Aị và Ak, ta được đa giác k cạnh AịA2 ...Ak có -v —- 2 (giả thiết quy nạp). Nô'i Ak+1 với các đỉnh A2, A3, Ak_i, ta được thêm k - 2 đường chéo, ngoài ra A]Ak cũng là một đường chéo. Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là k(k-3) + k _ 2 + 1 = k2-k-2 = (k + l)[(k + 1) - 3] 2 + 2 2 Vậy khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Do đó số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là —( - 3) với mọi số tự ■ 2 nhiên n > 4. c. BÀI TẬP LÀM THÊM Chứng minh rằng với mọi n e z’ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2; 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1)2 = n(n + 1)2; ox 1 . 1. .113 ox n + 1 n + 2 2n 24 n3 + 17n chia hết cho 6; 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2.

• 
  Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n = m.

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy và k ≥ m. Giả sử P(n) đúng khi n = k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng khi n= k + 1.

Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ m

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2 (1)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1. 4= 4.

Vế phải = 1.(1+ 1)2 = 4.

=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n=k; k ∈ N*; tức là ta có:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)=k(k+1)2 (2)

Ta chứng minh nó cũng đúng với n= k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2

+ Thật vậy do 1.4+ 2.7+ ...+ k. ( 3k+ 1) = k( k+1)2 nên

1.4+2.7+⋯+k( 3k+1)+( k+1).(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)

= k( k2+2k+ 1)+ 3k2 + 4k+ 3k+ 4

= k3 + 2k2 + k+3k2 + 7k+ 4 = k3 + 5k2 + 8k+ 4 = (k + 1).(k + 2)2

Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 2: Chứng ming rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

Quảng cáo

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1:

Vế trái

Vế phải

=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

* Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

* Thật vậy

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 3: Với mỗi số nguyên dương n, gọi un = 9n − 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8.

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có u1 = 91 − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng).

+ Giả sử uk = 9k − 1 chia hết cho 8 với k ∈ N*

Ta cần chứng minh: uk + 1 = 9k + 1 − 1 chia hết cho 8.

* Thật vậy, ta có uk+1=9k+1 − 1 = 9.9k − 1 = 9(9k − 1) + 8 = 9uk + 8.

Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8

=> uk+ 1 = 9k + 8 ⋮ 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8.

Quảng cáo

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có: 2n + 1 > 2n+ 3 (*)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 2 ta có : 22 + 1 = 8 và 2.2+ 3= 7

=> 8 > 7 nên (*) đúng khi n = 2

+ Giả sử với n = k; k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k+ 1 > 2k + 3 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2k+2 > 2(k+1)+3

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2k+1 > 2(2k+3) ⇔ 2k+2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3

Vậy 2k+2 > 2(k+1)+3 (đúng).

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1 và vế phải của (1)

Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

* Thật vậy 12+32+52+⋅⋅⋅+(2k − 1)2+(2k+1)2 =

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n và n ≥ 5 thì 2n > n2 (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 5 ta có: 25 > 52 ( vì 32 > 25) (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 5.

* Giả sử với n= k; k ≥ 5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k > k2 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 2k+1 > (k+1)2

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2. 2k > 2.k2 ⇔ 2k+1 > k2 + k2

⇔ 2k+1 > k2 + 2k + 1= (k+1)2 (vì k2 > 2k+ 1 với mọi k ≥ 5) .

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n≥5.

Ví dụ 7: Chứng minh với mọi số nguyên n ta có:

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1. 2= 2, vế phải của (1)

Suy ra (1) đúng với n= 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k∈N*.Có nghĩa là ta có:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)=

*Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)=

Thật vậy:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8+ ..+ n(3n − 1) = n2(n+1) (1)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)= 12.( 1+ 1)= 2.

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) = k2(k+1) (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k+1)(3k+2) = (k+1)2(k+2)

Thật vậy:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = k2(k+1) + (k + 1)(3k + 2)

= (k + 1)(k2 + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k+1)2(k+2) (đpcm).

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 − n chia hết cho 3

Hướng dẫn giải:

Đặt un = n3 − n

* Ta có u1 = 13 − 1 = 0 chia hết cho 3

=> đúng với n = 1.

* Giả sử uk = k3 − k chia hết cho 3.

Ta cần chứng minh uk+1 = (k + 1)3 − (k + 1) chia hết cho 3.

* Thật vậy, uk+1 = k3+ 3k2 + 3k + 1 − k − 1 = k3 + 3k2 + 2k

⇔ uk + 1 = (k3 − k) + (3k2 + 3k) = uk +3(k2 + k)

Vì uk và 3(k2 + k) đều chia hết cho 3, nên uk+1 cũng chia hết cho 3.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3.

Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt un = 2n3 − 3n2 + n

*Ta có: u1 = 2. 13 − 3 . 12 + 1 = 0 chia hết cho 6

=> đúng với n = 1.

* Giả sử uk = 2k3 − 3k2+ k chia hết cho 6.

Ta cần chứng minh: uk + 1 = 2.(k+1)3 − 3.(k+1)2 + k+1 chia hết cho 6.

* Thật vậy ta có: uk+1 = 2.k3+ 6k2 + 6k + 2 − 3k2 − 6k − 3 + k + 1

⇔ uk + 1 = 2k3 + 3k2 + k = 2k3 − 3k2 + k + 6k2 = uk + 6k2

Vì uk và 6k2 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6.

Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 13n − 1 chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt un = 13n − 1

* Với n = 1, ta có u1 = 131 − 1 = 12 chia hết cho 6

=> đúng với n = 1.

* Giả sử uk = 13k − 1 chia hết cho 6 (với k ∈ N*).

Ta cần chứng minh: uk+1= 13k+1 − 1 ⋮ 6 .

* Thật vậy ta có: uk+1 = 13 . 13k − 1 = 13(13k − 1) + 12 = 13.uk + 12

Vì 13uk và 12 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6.

Ví dụ 12: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 3 thì 3n > n2 + 4n + 5 (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 3 ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 3.

* Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

3k + 1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15

⇔ 3k + 1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k+1)+ 5 + (2k2 + 6k + 5) (2)

Vì (2k2 + 6k + 5) > 0 với mọi k ≥ 3 (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 3k+1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5

Hay 3k+1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3.

Câu 1: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..+ n(n+1).(n+2) =

Hiển thị đáp án

*Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1.2.3= 6, vế phải của

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n = k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

1.2.3+2.3.4+3.4.5+⋅⋅⋅+k(k+1)(k+2) =

(2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 2: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có:

Hiển thị đáp án

*Với n = 2:

Vế trái của

, vế phải của

Suy ra (1) đúng với n = 2.

* Giả sử (1) đúng với n= k.

Có nghĩa là ta có:

Ta chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy ta có:

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 .

Câu 3: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Hiển thị đáp án

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1)= 2√1 = 2.

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n = k; k ≥ 1

Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

*Thật vậy:

Vì:

⇔ 2√(k(k+1) ) + 1 < 2(k+1)

⇔ 2√(k2 + k) < 2k+1 ⇔ 4(k2 + k) < (2k + 1)2

⇔ 4k2 + 4k < 4k2 + 4k + 1 ( luôn đúng ) do đó (3) luôn đúng với mọi số nguyên dương k.

Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Hiển thị đáp án

*Với n = 1: Vế trái của

, vế phải của

Suy ra (1) đúng với n = 1.

*Giả sử (1) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Hiển thị đáp án

* Với n = 1: Vế trái của

, vế phải của

.

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với k; k ∈ N* . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1. Ta phải chứng minh:

* Thật vậy:

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì n3 + 11n chia hết cho 6.

Câu 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

Câu 7: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 4n + 15n − 1 chia hết cho 9

Câu 8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì 4n + 6n + 8 chia hết cho 9

Câu 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 7.22n − 2 + 32n − 1 chia hết cho 5?

Câu 10: Chứng minh với mọi n nguyên và n ≥ 4 ta có: 3n − 1 > n(n+ 2) (1)

Câu 11: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 2 ta có :

Hiển thị đáp án

* Đặt

* Với n= 2 ta có

=> đúng với n= 2.

*Giả sử với n = k ≥ 2 ; k ∈ N thì (*) đúng, có nghĩa ta có:

*Ta phải chứng minh (*) đúng với n=k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

*Thật vậy ta có:

*Vậy uk+1 > uk >

(đúng). Vậy (*) đúng với n = k + 1.

*Suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2.

Câu 12: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: nn ≥ (n+1)n − 1 ( 1)

Hiển thị đáp án

* Với n = 1 ta có 11 ≥ (1+1)0 hay 1 ≥ 1 (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử với n = k ; k ∈ N* thì (1) đúng, có nghĩa ta có: kk ≥ (k+1)k − 1 (2).

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

(k+1)k+1 ≥ (k+2)k

Thật vậy, nhân hai vế của (2) với (k+1)k+1 ta được:

Vậy (*) đúng với n = k + 1. Do đó (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• 
  Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp