Đề bài
Tính thể tích của khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), biết rằng \(AA'B'D'\) là khối tứ diện đều cạnh \(a\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tứ diện đều có hình chiếu của đỉnh xuống đáy chính là tâm đáy.
- Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ V=B.h.
Lời giải chi tiết
\(AA’B’D’\) là tứ diện đều nên đường cao \(AH\) có \(H\) là tâm của tam giác đều \(A’B’D’\) cạnh \(a\).
Mà \(ABCD)//(A'B'C'D') nên
h=d((ABCD),(A'B'C'D'))=d(A,(A'B'C'D')).
Do đó:
\(\eqalign{& A'H = {2 \over 3}A'O' = {2 \over 3}{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr & \Rightarrow A{H^2} = AA{'^2} - A'{H^2} \cr &= {a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {{2{a^2}} \over 3} \cr
& \Rightarrow AH = a\sqrt {{2 \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)
Diện tích tam giác đều \(A’B’D’\) là: \({S_{A'B'D'}}= \frac{1}{2}A'B'.A'D'\sin {60^0} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)Diện tích hình thoi \(A’B’C’D’\): \({S_{A'B'C'D'}} = 2{S_{A'B'D'}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
Vậy thể tích khối hộp đã cho là:
\(V = B.h \) \(= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}\)
Loigiaihay.com
Tính thể tích khối lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) và đường chéo \(AC' = 2{\rm{a}}\).
A.
B.
C.
D.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách tính Thể tích hình chóp, hình lăng trụ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
1. Phương pháp giải
Quảng cáo
+ Thể tích khối lăng trụ đứng là: V = S.h
( S là diện tích đáy, h là chiều cao của hình lăng trụ).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC= và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn giải
+ Do tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A có BC= Nên AB= AC= a.
+ Do ABC. A'B'C' là lăng trụ đứng
Xét tam giác vuông AA’B ta có:
AA’2 = A’B2 – AB2 = 9a2 – a2 = 8a2
=>
Diện tích tam giác ABC là:
+ Thể tích hình lăng trụ đã cho là:
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ 2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
A. 6a3
B. 12a3
C. 18a3
D. 24a3
Hướng dẫn giải
+ Do ABCD. A'B'C'D' là lăng trụ đứng có cạnh bên là 4a nên AA’= BB’= CC’= DD’= 4a . Đường chéo của hình lăng trụ là BD’ = 5a.
+ Tam giác BDD’ vuông tại D nên:
BD2 = BD'2 - DD'2 = 25a2 - 16a2 = 9a2
=> BD = 3a
+ Tứ giác ABCD là hình vuông nên
Suy ra, diện tích hình vuông ABCD là
Vậy thể tích hình lăng trụ là: V= SABCD. AA’ =
Chọn C.
Ví dụ 3. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Quảng cáo
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm BC.
Do tam giác ABC là tam giác đều nên AI= AB. sin B = 4. sin60o = và AI⊥BC
Mà AA'⊥BC nên A'I⊥BC( định lí ba đường vuông góc)
Diện tích tam giác A’BC là:
Xét tam giác AA’I vuông tại A ta có:
Diện tích tam giác ABC là:
Thể tích hình lăng trụ là:
Chọn D.
Ví dụ 4. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .
Hướng dẫn giải
* Tam giác ABD cân tại A( vì AB = AD)
Lại có: nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a => BD = a
* Diện tích tam giác ABD là
=>
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Theo đề bài BD'= AC
* Xét tam giác vuông BDB’ có:
Vậy thể tích của hình hộ đã cho là;
Chọn B.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
khoi-da-dien.jsp