Tổng hợp công thức phương trình đường tròn

Bạn gặp rắc rối về giải bài tập viết phương trình đường tròn nhưng bạn lúng túng không biết viết như thế nào? Cho nên, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết phương trình đường tròn và các dạng bài tập có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé

Lý thuyết phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 = R2

Lưu ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2 + y2 = R2

2. Nhận xét

+) Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể viết dưới dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. Trong đó c = a2 + b2 – R2.

+) Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi a2 + b2 – c2 > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R = √a2 + b2 – c

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b). Gọi ∆ là tiếp tuyến với (C) tại M0.

Ta có M0 thuộc Δ và vectơ IM0 →= (x0−a; y0−b)là vectơ pháp tuyến cuả Δ

Do đó Δ có phương trình là:

(x0 − a)(x − x0)+(y0 − b)(y − y0) = 0

Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 tại điểm M0 nằm trên đường tròn.

Tham khảo thêm:

Các dạng bài tập phương trình đường tròn

1. Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Phương pháp:

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a. x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0

b. 16x2 + 16y2 + 16x − 8y − 11 = 0

c. x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.

Lời giải:

a. Ta có : −2a = −2 ⇒ a = 1

−2b = −2 ⇒ b = 1⇒ I(1; 1)

R2 = a2 + b2 − c = 12+12−(−2) = 4 ⇒ R = √4 = 2

Cách khác:

x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 ⇔ (x2 − 2x + 1) + (y2− 2y + 1) = 4 ⇔ (x−1)2+(y−1)2 = 22

Vậy đường tròn có tâm I(1;1) bán kính R=2.

b. 16x2 + 16y2 + 16x − 8y − 11 = 0

⇔ x2 + y2 + x − ½y −11/16 = 0

−2a = 1⇒ a =−½

−2b =−½ ⇒ b =¼

⇒ I(−½; ¼ )

R2= a2+b2−c = (−½)2+(¼ )2−(−11/16) = 1⇒ R=√1 = 1

Cách khác

c. x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.

−2a =−4⇒a = 2

−2b = 6 ⇒b = −3

⇒I(2;−3)

R2=a2+b2−c = 22+(−3)2−(−3) = 16

⇒R=√16 = 4

Cách khác:

x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.

⇔(x2−4x+4)+(y2+6y+9)=16

⇔(x−2)2+(y+3)2=42

Do đó đường tròn có tâm I(2;−3) bán kính R=4.

2. Dạng 2: Viết phương trình đường tròn

Cách 1:

Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)

Tìm bán kính R của (C)

Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

Chú ý:

• (C) đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.
• (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).
• (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2

⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn (C) là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)

Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c

Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm I(−2;3) và đi qua M(2;−3); b.(C) có tâm I(−1;2) và tiếp xúc với đường thẳng d:x–2y+7=0

c. (C) có đường kính AB với A(1;1) và B(7;5).