Show
Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác là những kiến thức hình học cơ bản được giới thiệu tới các em học sinh trong chương trình Toán lớp 9. Kiến thức trong sách giáo khoa đã tương đối đầy đủ. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tóm tắt và bổ sung thêm các ý chính của phần hình học này và chia sẻ tới các em cách tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Mời các em học sinh cùng theo dõi để hiểu rõ nội dung phần bài học này nhé. Bạn đang xem: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?Khái niệm về đường tròn nội tiếp tam giác?Cách tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giácMột số dạng bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giácĐường tròn ngoại tiếp tam giác xảy ra khi đường tròn này sẽ đi qua cả 3 đỉnh của một tam giác. Hay có thể gọi theo cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn. Đường tròn ngoại tiếp tam giácKhi đã làm quen với khái niệm đường ngoại tiếp tam giác học sinh sẽ được tìm hiểu thêm về khái niệm đường trung trực. Đường trung trực được định nghĩa như sau:Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm H của AB đồng thời vuông góc với AB. Khoảng cách từ mọi điểm M nằm trên trung trực đến hai điểm A và B luôn bằng nhau, có nghĩa là MA=MB. Khái niệm về đường tròn nội tiếp tam giác?Đường tròn nội tiếp tam giác là khái niệm được nhắc đến trong toán hình học. Đường tròn được xem là nội tiếp tam giác khi đường tròn này nằm trong tam giác và 3 cạnh của tam giác đó là tiếp tuyến của đường tròn. Cách tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giácMuốn tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tâm đường tròn nội tiếp tam giác tiếp các em học sinh cần lưu ý phần đã nêu trong lý thuyết: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là điểm mà ba đường phân giác bên trong của tam giác cùng đi qua (cũng có thể là giao điểm 2 đường phân giác)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là vị trí giao nhau của ba đường trung trực của tam giác đó (cũng có thể là giao điểm 2 đường trung trực). Một số dạng bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giácXác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trong các trường hợp dưới đây: Tại mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A ( 5 ; 7 ) ; B ( 2 ; 9 ) ; C ( 2 ; 1 ) Tại mặt phẳng Oxy cho 3 điểm với A ( 5 ; 7 ) ; B ( 5 ; 9 ) ; C ( 2 ; 1 ) Cho đường thẳng (O) đi qua ba điểm A, B và C. Lập phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm: Bước 1: Gọi phương trình của đường tròn là (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0 (*) (với điều kiện a2 + b2 c > 0).Bước 2: Ta có điểm A; B và C được nằm trên một đường thẳng nên khi thay số liệu của tọa độ các điểm A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình ba ẩn a; b; c.Bước 3: Giải iải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình của đường tròn.Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp đi qua 3 điểm A (0; 4); B (2; 4) và C (4; 0) (0; 0)(1; 0)(3; 2)(1; 1)Hướng dẫn cách giải Phương trình đường tròn (C) được viết dưới dạng : x2 + y2 2ax 2by + c = 0 ( với điều kiện a2 + b2 c> 0) Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) từ đó viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Suy ra, tâm I (1; 1). Chọn đáp án D Ví dụ 2: Tâm đường tròn qua ba điểm A (2; 1); B (2; 5) và C (-2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình A. x y + 3 = 0.B. x + y 3 = 0C. x y 3 = 0D. x + y + 3 = 0Hướng dẫn cách giải Phương trình đường tròn (C) được viết với dạng như sau: x2 + y2 2by + c 2ax = 0 (a2 + b2 c> 0) Viết phương trình đường tròn được đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) I (0; 3) Vậy tọa độ tâm của đường tròn là I (0; 3). Lần lượt thay tọa độ I cho các phương trình có trong đều bài, chỉ có đường thẳng x y + 3 = 0 là thỏa mãn . Vì vậy chọn đáp án A. Xem thêm: Diễn Biến Tâm Trạng Của Ông Hai Khi Nghe Tin Làng Theo Giặc (Ngắn Gọn, Hay Nhất) Hướng dẫn cách giải một số dạng bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giácTrên đây là khái niệm về đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác, cách tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác. Phương pháp giải một số dạng bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác mà học sinh lớp 9 cần nhớ. Đây là dạng bài tập quan trọng trong chương trình Toán hình học lớp 9. Nắm vững kiến thức và vận dụng tốt vào các dạng bài tập sẽ giúp các em đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi cuối kì.
A. Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm Cho đường tròn ( C) đi qua ba điểm A; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: 1/ Bước 1: Gọi phương trình đường tròn là ( C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*) ( với điều kiện a2 + b2 – c > 0). 2/ Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A; B và C vào (*) ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c. 3/ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn. B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1) ; B( 2; 5) và C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình A. x – y + 3 = 0. B. x + y – 3 = 0 C. x – y – 3 = 0 D. x + y + 3 = 0 Hướng dẫn giải Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0) Vậy tâm đường tròn là I( 0; 3) . Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng x – y + 3 = 0 thỏa mãn. Chọn A. Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0) A. (0; 0) B. (1; 0) C. (3; 2) D. (1; 1) Hướng dẫn giải Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 –c > 0) Vậy tâm I( 1; 1) Chọn D. Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 4); B(3; 4); C(3; 0). A. 5 B. 3 C. √6,25 D. √8 Hướng dẫn giải Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0) Chọn C. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là: A. x2 + y2 – 2x – y + 20 = 0 B. (x – 2)2 + (y – 1)2 = 20 C. x2 + y2 – 4x – 2y + 20 = 0 D. x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 Lời giải Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0 ) Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là: Vậy đường tròn ( C) cần tìm: x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 Chọn D. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2) . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C). Tính bán kính đường tròn đó? Chọn C. Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1); B( 2; 5) ; C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình A. x – y + 3 = 0 B. x – y – 3 = 0 C. x + 2y – 3 = 0 D. x + y + 3 = 0 Hướng dẫn giải Gọi phương trình ( C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 + c > 0 ) . Tâm I (a; b) Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳng x – y – 3 = 0 Chọn B. Ví du 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI? Chọn C. Ví dụ 8 : Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1 ; 0) ; B( 3 ; 4) ? A. x2 + y2 + 8x – 2y – 9 = 0 B. x2 + y2 – 3x – 16 = 0 C. x2 + y2 – x + y = 0 D. x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0 Hướng dẫn giải Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án: Điểm B( 3; 4) không thuộc đường tròn A. Điểm A(1; 0) không thuộc đường tròn B. Điểm B(3; 4) không thuộc đường tròn C. Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D. Chọn D. C. Bài tập vận dụngCâu 1: Gọi I( a; b) tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2) ;B( 0;4) và C(- 2; -1). A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 Hiển thị lời giải Đáp án: B Trả lời: Gọi phương trình đường tròn ( C) cần tìm có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c= 0 (a2 + b2 – c > 0) Do A, B , C thuộc đường tròn nên: Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm – Toán 10 chuyên đềĐể viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm, cách hay dùng nhất là ta lần lượt thay các giá trị các điểm này vào phương trình tổng quát của đường tròn, sau đó lập thành hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn. Giải hệ này thay các giá trị tìm được vào phương trình đường tròn, ta được kết quả. Cụ thể: Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. (*) (với điều kiện a2 + b2 – c > 0). – Từ điều kiện bài toán: điểm A, B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A, B và C vào pt(*) ta được hệ ba phương trình bậc nhất với ẩn a; b; c. – Giải hệ tìm a, b, c thay vào pt đường tròn (C). * Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2) * Lời giải: Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2) – Goi (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. – Vì (C) đi qua A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta có hệ sau: * Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(2; 1) ; B(2; 5) và C(-2; 1). * Lời giải: Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(2; 1) ; B(2; 5) và C(-2; 1). Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0) Vì các điểm A, B và C đều thuộc đường tròn (C). A thuộc (C) nên: 4 + 1 – 4a – 2b + c = 0 (1) B thuộc (C) nên: 4+ 25 – 4a – 10b + c = 0 (2) C thuộc (C) nên: 4 + 1 + 4a – 2b + c = 0 (3) Giải hệ (1), (2) và (3) ta được: a = 0; b = 3 và c = 1 Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 6y + 1 = 0 * Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0) * Lời giải: Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (với a2 + b2 – c > 0) Vì 3 điểm A, B và C đều thuộc đường tròn (C) nên có: Vậy PT đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2x – 2y – 8 = 0 * Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2) * Lời giải: – Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là (C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (với a2 + b2 – c > 0) Do ba điểm A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2) đều thuộc đường tròn, nên ta có: Vậy đường tròn (C) cần tìm là: x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 * Lưu ý: 1. Ở ví dụ trên, việc gọi phương trình đường tròn thay vì x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ta cũng có thể gọi pt đường tròn có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 và kết quả bài toán cũng không thay đổi. 2. Sau khi viết được phương trình đường tròn đi qua 3 điểm, các em có thể xác định tâm của đường tròn, bán kính của đường tròn,… như vậy một số bài toán yêu cầu như: – Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm; – Tâm của đường tròn qua 3 điểm có thuộc đường thẳng (d) cho trước? – Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm thì trước tiên, các em cần viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàngViết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng là một dạng toán cơ bản trong dạng toán về đường tròn. Bài giảng trước thầy đã gửi tới các bạn bài giảng viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính, các bạn có thể xem qua. Để lập được phương trình đường tròn với dạng này chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp làm dưới đây: Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểmViết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)A. Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm Cho đường tròn ( C) đi qua ba điểm A; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: 1/ Bước 1: Gọi phương trình đường tròn là ( C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*) ( với điều kiện a2 + b2 – c > 0). 2/ Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A; B và C vào (*) ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c. 3/ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn. B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1 ; 0) ; B( 3 ; 4) ? A. x2 + y2 + 8x – 2y – 9 = 0 B. x2 + y2 – 3x – 16 = 0 C. x2 + y2 – x + y = 0 D. x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0 Hướng dẫn giải Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án: Điểm B( 3; 4) không thuộc đường tròn A. Điểm A(1; 0) không thuộc đường tròn B. Điểm B(3; 4) không thuộc đường tròn C. Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D. Chọn D. Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0) A. (0; 0) B. (1; 0) C. (3; 2) D. (1; 1) Hướng dẫn giải Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 –c > 0) Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên Vậy tâm I( 1; 1) Chọn D. Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 4); B(3; 4); C(3; 0). A. 5 B. 3 C. √6,25 D. √8 Hướng dẫn giải Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0) Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên Vậy bán kính R = = √6,25 Chọn C. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là: A. x2 + y2 – 2x – y + 20 = 0 B. (x – 2)2 + (y – 1)2 = 20 C. x2 + y2 – 4x – 2y + 20 = 0 D. x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 Lời giải Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0 ) Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là: Vậy đường tròn ( C) cần tìm: x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 Chọn D. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2) . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C). Tính bán kính đường tròn đó? Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1); B( 2; 5) ; C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình A. x – y + 3 = 0 B. x – y – 3 = 0 C. x + 2y – 3 = 0 D. x + y + 3 = 0 Hướng dẫn giải Gọi phương trình ( C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 + c > 0 ) . Tâm I (a; b) Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳng x – y – 3 = 0 Chọn B. Ví du 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI? Ví dụ 8: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1) ; B( 2; 5) và C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình A. x – y + 3 = 0. B. x + y – 3 = 0 C. x – y – 3 = 0 D. x + y + 3 = 0 Hướng dẫn giải Phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0) Vậy tâm đường tròn là I( 0; 3) . Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng x – y + 3 = 0 thỏa mãn. Chọn A. 🔢 GIA SƯ TOÁN |