X 2 1 x n bằng bao nhiêu

(HNM) - Số đếm được hình thành từ xa xưa trong lịch sử. Khi toán học phát triển, một số nhà toán học khi làm toán lại quan tâm đến tích của những số đếm đầu tiên như 1 x 2, 1 x 2 x 3... Người ta gọi tích của n số đếm đầu tiên là n giai thừa, kí hiệu là n!. Chẳng hạn, 2! = 1 x 2 = 2, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.

Những nhà toán học nổi tiếng như Legendre, Gauss, James Stirling, Vandermonde... sử dụng cách viết 1 x 2 x 3 x 4... trong các định lí hay công thức toán học của mình. Người đầu tiên dùng kí hiệu n! là nhà toán học người Pháp Christian Kramp (1760-1826) vào năm 1808. Ông tốt nghiệp ngành y khoa nhưng lại quan tâm nhiều đến toán học. Ông đã viết một số sách về y khoa và đến năm 1793 thì xuất bản sách viết về tinh thể học. Năm 1794, Kramp trở thành giảng viên dạy toán, lý, hóa. Năm 1809, ông được bổ nhiệm làm giáo sư. 8 năm sau, ông được bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Pháp. Việc đưa kí hiệu n! vào giúp cho mọi người giảm đáng kể thời gian công sức, góp phần đáng kể vào sự phát triển của toán học.

Dựa vào khái niệm giai thừa, ta thấy (n + 1)! = (n + 1) x n!. Chẳng hạn với n = 4 thì 5! = 5 x 4!. Thật vậy, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5, còn 5 x 4! = 5 x (1 x 2 x 3 x 4). Do đó 5! = 5 x 4!. Người ta gọi (n + 1)! = (n + 1) x n! là một công thức truy hồi. Muốn tính giai thừa của một số, ta tính theo giai thừa của số bé hơn. Biết 4! = 24, muốn tính 6!, ta có thể làm như sau: 5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120, 6! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720.

Công thức giai thừa xuất hiện nhiều trong toán như hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, lý thuyết số, giới hạn, số nguyên tố hay những khai triển toán học theo các chuỗi số... Chẳng hạn số cách xếp hàng ngang 3 bạn để chụp ảnh gọi là một hoán vị của 3, chính là 3! = 6. Ví dụ với 3 bạn A, B, C thì 6 cách xếp hàng đó là ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Với ngôi sao 5 cánh thì số đoạn thẳng nối 2 điểm được gọi là một tổ hợp 2 của 5. Công thức tính là 5! : (2! x (5 - 2)!) hay 5! : (2! x 3!) = 120 : (2 x 6) = 120 : 12 = 10. Em hãy vẽ thử xem nhé. Ở một số loại máy tính cầm tay, người ta viết phím nCk để chỉ tổ hợp k của n. Với bài toán ngôi sao này thì đó là 5C2. Ta có thể tính 5C2 theo cách liệt kê: Chọn 5 điểm A, B, C, D, E và đếm số đoạn thẳng là AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Ta vẫn được đáp số là 10 đoạn thẳng.

Bây giờ ta giải thích tại sao phải có kí hiệu 0! và 1!. Theo khái niệm ở trên thì n! chỉ tích của n số đếm đầu tiên. Theo công thức truy hồi thì 2! = 2 x 1! hay 2 = 2 x 1!, từ đó 1! = 1. Đến bài toán tổ hợp, chẳng hạn tính số đoạn thẳng nối 2 điểm. Đáp số rõ ràng là 1. Tức là 2C2 = 1 hay 2! : (2! x (2 - 2)!) = 1. Từ đó 2 : (2 x 0!) = 1, 2 x 0! = 2, 0! = 1. Vậy để đầy đủ các khái niệm giai thừa cho các số tự nhiên, người ta quy ước 0! = 1! = 1.

Kết quả kỳ trước. Trong hình vuông 3 x 3 có tất cả 36 hình chữ nhật. Phần thưởng trao cho các bạn: Phương Minh Tuấn (7B, THCS Tân Mai); Trần Nhật Huy (7A7, THCS Ngô Sĩ Liên); Phạm Trần Duy Hưng, Phạm Trần Quang Nguyên (P506, C2, TT Quỳnh Mai).

Câu hỏi kỳ này: Nối các đỉnh của hình vuông được 6 đoạn thẳng. Theo em thì dùng công thức nào để tính? Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Nội dung chính Show

Ví dụ minh họa
B. Bài tập vận dụng
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GIA SƯ DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \).

Lời giải chi tiết:

\({\left( {1 + 4x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {4x} \right)}^k}{1^{n - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{4^k}{x^k}} \).

Hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển trên là \(C_n^2{4^2} = 16C_n^2\).

Theo bài ra ta có: \(16C_n^2 = 3040 \Leftrightarrow C_n^2 = 190 \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 190\).

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 380 \Leftrightarrow {n^2} - n - 380 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 19\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với giải Bài 6 trang 37 Chuyên đề Toán 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Nhị thức Newton giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton

Bài 6 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của x2+1521.

a) Xác định hệ số của x10.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số ak của xk với 0 ≤ k ≤ 21.

Lời giải:

a) Số hạng chứa x10 là C2111x2101511. Hệ số của x10 là C211112101511=C21111210511.

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C2121−kx2k1521−k. Hệ số của xk là C2121−k12k521−k.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng (bxp+cxq)k thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm.

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số ak theo k và n;

* Giải bất phương trình ak-1 ≤ ak với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x(1-2x)5+x2 (1+3x)10

Đáp án và hướng dẫn giải

Đặt f(x)=x(1-2x)5+x2 (1+3x)10

Ta có :

Vậy hệ số của x5 trong khai triển đa thức của f(x) ứng với k = 4 và i = 3 là:

Bài 2: Đa thức P(x) =(1+3x+2x2)10=a0 + a1 x + ⋯ + a20 x20. Tìm a15

Đáp án và hướng dẫn giải

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k + i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Bài 3: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x3 - (2/x))n, biết rằng

Đáp án và hướng dẫn giải

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f(x)=[1+x2 (1-x)]8

Lời giải:

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:

Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức [1+x2 (1-x)]8 là:

a8 = = 238.

Bài 2: Đa thức P(x) = (1 + 3x + 2x2)10 = a0 + a1 x+⋯+a20 x20.. Tìm a15

Lời giải:

Ta có:

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k+i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Bài 3: Trong khai triển (2a-b)5, hệ số của số hạng thứ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bài 4: Trong khai triển nhị thức (a+2)n+6,(n ϵ Z). Có tất cả số hạng. Vậy n bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (a+2)(n+6),(n ϵ N) có tất cả n+7 số hạng.

Do đó n+7 =17 ⇔ n=10.

Bài 5: Trong khai triển (3x2-y)10, hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (3x2-y)10 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GIA SƯ DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.