Tài liệu gồm 121 trang, bao gồm tóm tắt lý thuyết, phân dạng và bài tập chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác trong chương trình môn Toán lớp 10 GDPT 2018 (chương trình SGK mới). Show CHUYÊN ĐỀ 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. CHỦ ĐỀ 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180. Vấn đề 1. Tính giá trị của một biểu thức. Hai góc phụ nhau, bù nhau. Vấn đề 2. Dấu của một biểu thức lượng giác. Vấn đề 3. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của một biểu thức lượng giác. Vấn đề 4. Đơn giản một biểu thức lượng giác. Vấn đề 5. Chứng minh một đẳng thức lượng giác. Vấn đề 6. Chứng minh một biểu thức độc lập đối với x. CHỦ ĐỀ 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. Vấn đề 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG. + Bài toán. Cho biết một số yếu tố của tam giác vuông. Tính các yếu tố còn lại. Vấn đề 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG. + Bài toán 1. Biết hai cạnh và góc xen giữa, tính độ dài cạnh còn lại. + Bài toán 2. Biết độ dài ba cạnh của một tam giác, tính các góc của tam giác. + Bài toán 3. Biết độ dài một cạnh và số đo hai góc của một tam giác hoặc biết độ dài hai cạnh và một góc (không xen giữa) tính độ dài cạnh còn lại. + Bài toán 4. Tìm diện tích của tam giác. Tìm độ dài đường cao, tìm bán kính đường tròn nội – ngoại tiếp tam giác. + Bài toán 5. Giải tam giác và các ứng dụng vào thực tế. + Bài toán 6. Chứng minh các hệ thức trong tam giác. File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Nếu bạn đang tìm kiếm một nơi cung cấp tài liệu học tập uy tín thì bạn đang ở đúng nơi rồi đó! Không chỉ có tài liệu Lý thuyết và bài tập tự luyện về hệ thức lượng trong tam giác lớp , học AZ còn vô vàn tài liệu hữu ích khác hỗ trợ việc học của bạn! Tải về tài liệu Lý thuyết và bài tập tự luyện về hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 ngay nhé! HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
a2=b2+c2-2 b c.cos A b2=c2+a2-2 c a.cos B c2=a2+b2-2 a b.cos C
Ta có: a/sin A=b/sin B=c/sin C=2 R
Với tam giác A B C ta kí hiệu ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB ; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p=(a+b+c)/2 là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. B - CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH Dạng toán 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Gồm có 3 loại cơ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức Phương pháp: - Sử dụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin. - Chọn hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi cho việc giải toán. Với loạt Công thức lượng giác và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 10. Công thức lượng giác và cách giải bài tập1. Lý thuyết
sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a−b) = sina.cosb−sinb.cosa cos(a+b) = cosa.cosb − sina.sinb cos(a−b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a+b) = tana+tanb1−tana.tanb tan(a−b) = tana−tanb1+tana.tanb
* Công thức nhân đôi: sin2α=2sinα.cosα cos2α = cos2α−sin2α = 2cos2α−1 = 1−2sin2α tan2α = 2tanα1−tan2α * Công thức hạ bậc: sin2α = 1−cos2α2cos2α = 1+cos2α2tan2α = 1−cos2α1+cos2α * Công thức nhân ba: sin3α=3sinα−4sin3αcos3α=4cos3α−3cosα
cosacosb=12cos(a+b)+cos(a−b)sinasinb=−12cos(a+b)−cos(a−b)sinacosb=12sin(a+b)+sin(a−b)
cosa+cosb = 2cosa+b2.cosa−b2 cosa−cosb = −2sina+b2.sina−b2 sina+sinb = 2sina+b2.cosa−b2 sina−sinb = 2cosa+b2.sina−b2 tana+tanb = sin(a+b)cosa.cosb tana−tanb = sin(a−b)cosa.cosb cota+cotb = sin(a+b)sina.sinb cota−cotb = sin(b−a)sina.sinb 2. Các dạng bài Dạng 3.1: Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt
- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc. - Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt. - Sử dụng các công thức lượng giác.
Ví dụ 1: Tính:
Lời giải:
\=cosπ+π12 \=−cosπ12 \=−cosπ3−π4 \=−cosπ3.cosπ4+sinπ3.sinπ4 \=−6+24 b.tanπ24+tan7π24=sinπ3cosπ24.cos7π24 \=3cosπ3+cosπ4=26−3 Ví dụ 2: Tính:
Lời giải:
sin2x+cos2x=1⇒cosx=±1−sin2x=±1−925=±45 . Vì π2<x<π nên cosx=−45 Do đó tanx=sinxcosx=−34. Ta có: tanx+π4=tanx+tanπ41−tanx.tanπ4=−34+11+34=17.
sinα=513, π2<α<π nên cosα=−1−5132=−1213. cosβ=35, 0<β<π2 nên sinβ=1−352=45. cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ =−1213.35+513.45=−1665 . Dạng 3.2: Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi. Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau: * Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái) * Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng. * Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
Lời giải:
VT=sin4x+cos4x \=(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x \=1−12sin22x=1−12.1−cos4x2 \=34+14cos4x=VP Suy ra đpcm.
VT= 14cos3x3sinx−sin3x+ 14sin3x3cosx+cos3x \=34sinx.cos3x+cosx.sin3x=34sin4x=VP Suy ra đpcm. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin3B2cosA+C2+cos3B2sinA+C2−cos(A+C)sinB.tanB=2 Lời giải: Do tam giác ABC có A+B+C=1800, suy ra A+C=1800−B Do đó, ta có: VT=sin3B2cos1800−B2+cos3B2sin1800−B2−cos1800−BsinB.tanB \=sin3B2sinB2+cos3B2cosB2−−cosBsinB.tanB \=sin2B2+cos2B2+1=2=VP Suy ra đpcm. Dạng 3.3: Thu gọn biểu thức lượng giác
Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
Hướng dẫn:
A=cos10x+(1+cos8x)−cosx−2(4cos33x−3cos3x)cosx \=(cos10x+cos8x)+1−cosx−2cos9x.cosx \=2cos9x.cosx+1−cosx−2cos9x.cosx=1−cosx
B=sin3x+cos2x−sinxcosx+sin2x−cos3x \=2cos2xsinx+cos2x−2sin2xsin(−x)+sin2x \=2cos2xsinx+cos2x2sin2xsinx+sin2x \=cos2x(1+2sinx)sin2x(1+2sinx)=cot2x Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: C=sin2x+2sina–x.sinx.cosa+sin2a–x. Lời giải: C=sin2x+2sina–x.sinx.cosa+sin2a–x \=sin2x+sina−x2sinxcosa+sina−x \=sin2x+sina−x2sinxcosa+sinacosx−cosasinx \=sin2x+sina−xsinxcosa+sinacosx \=sin2x+sina−xsina+x=sin2x+12cos2x−cos2a \=sin2x+121−2sin2x−(1−2sin2a) \=sin2x+sin2a−sin2x=sin2a Dạng 3.4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả không chứa biến. Do đó, để giải dạng toán này, ta sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn. Nếu biểu thức sau khi thu gọn không chứa biến, ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A=cos2x+cos2π3+x+cos2π3−x Lời giải: Ta có: A=cos2x+cos2π3+x+cos2π3−x \=cos2x+12cosx−32sinx2+12cosx+32sinx2 \= cos2x+14cos2x−32cosxsinx+34sin2x+14cos2x+32cosxsinx+34sin2x \=32cos2x+32sin2x \=32cos2x+sin2x \=32 Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x. Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: C=2sin4x+cos4x+sin2xcos2x2–sin8x+cos8x Lời giải: Ta có: C=2sin4x+cos4x+sin2xcos2x2–sin8x+cos8x \=2sin2x+cos2x2−sin2xcos2x2–sin4x+cos4x2−2sin4xcos4x \=21−sin2xcos2x2–sin2x+cos2x2−2sin2xcos2x2+2sin4xcos4x \=21−sin2xcos2x2–1−2sin2xcos2x2+2sin4xcos4x \=21−2sin2xcos2x+sin4xcos4x–1−4sin2xcos2x+4sin4xcos4x+2sin4xcos4x \= 2 – 4sin2x cos2x + 2sin4x cos4x – 1 + 4sin2x cos2x – 4sin4x cos4x + 2sin4x cos4x \=1. Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x. Dạng 3.5: Tính giá trị biểu thức
Sử dụng hệ thức cơ bản, các công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt.
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: A=cos10°.cos30°.cos50°.cos70°. Lời giải: Ta có: A=cos10°.cos30°.cos50°.cos70° \=cos10°.cos30°.12cos120o+cos20o \=cos10o.32.12−12+cos20o \=34−cos10o2+cos10ocos20o \=34−cos10°2+cos30°+cos10°2 \=34.cos30°2 \=34.34=316 Ví dụ 2: Cho cos2α=23. Tính giá trị của biểu thức P=cosα.cos3α. Lời giải: Ta có: P=cosα.cos3α=12cos2α+cos4α \=12cos2α+2cos22α−1 \=122cos22α+cos2α−1 \=122.232+23−1=518 3. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho x+y+z=π, chứng minh rằng: tanx + tany + tanz = tanx . tany . tanz. Lời giải: Từ giả thiết, ta có: x+y+z=π⇔x+y=π−z ⇒tanx+y=tanπ−z ⇔ tanx+tany1−tanx.tany=−tanz ⇔tanx+tany=−tanz+tanx.tany.tanz ⇔tanx+tany+tanz=tanx.tany.tanz Suy ra đpcm. Câu 2: Cho sinx+siny=2sinx + y, với x+y≠kπ, k∈ℤ. Chứng minh rằng: tanx2.tany2 = 13. Lời giải: Từ giả thiết, ta có: sinx+siny=2sinx+y⇔2sinx+y2.cosx−y2 =4sinx+y2.cosx+y2 ⇔cosx−y2=2cosx+y2 (do x+y≠kπ,k∈ℤ) ⇔cosx2.cosy2 +sinx2.siny2 =2cosx2.cosy2 −sinx2.siny2 ⇔3sinx2.siny2=cosx2.cosy2 ⇔tanx2.tany2 = 13 Suy ra đpcm. Câu 3: Cho sinα=13 với 0<α<π2. Tính giá trị của cosα+π3. Lời giải: Ta có: sin2α+cos2α=1⇒cos2α=23⇒cosα=63 (vì 0<α<π2 nên cosα>0). Ta có: cosα+π3=12cosα−32sinα \=12⋅63−32⋅13=16−12=2−626 Câu 4: Tính giá trị biểu thức M=cos–53°.sin–337°+sin307°.sin113°. Lời giải: M=cos–53°.sin–337°+sin307°.sin113° \=cos–53°.sin23°–360°+sin−53°+360°.sin90°+23° \=cos–53°.sin23°+sin−53°.cos23° \=sin23°−53°=−sin30°=−12 Câu 5: Cho số thực α thỏa mãn sinα=14. Tính sin4α+2sin2αcosα. Lời giải: Ta có: sin4α+2sin2αcosα \=2sin2αcos2α+2sin2αcosα \=2sin2αcos2α+1cosα \=4sinαcosα1−2sin2α+1cosα \=4sinαcos2α(2−2sin2α) \=4sinα1−sin2α2−2sin2α \=81−sin2α2sinα \=81−1162.14=225128 Câu 6: Rút gọn biểu thức P=cosa+2cos3a+cos5asina+2sin3a+sin5a. Lời giải: P=cosa+2cos3a+cos5asina+2sin3a+sin5a \=2cos3acos2a+2cos3a2sin3acos2a+2sin3a \=2cos3acos2a+12sin3acos2a+1 \=cos3asin3a=cot3a Câu 7: Chứng minh biểu thức A=1−tan2x24tan2x−14sin2xcos2x không phụ thuộc vào x. Lời giải: Ta có: A=1−tan2x24tan2x−14sin2xcos2x \=1−tan2x24tan2x−14tan2x⋅1cos2x2 \=1−tan2x24tan2x−1+tan2x24tan2x \=1−tan2x2−1+tan2x24tan2x \=−4tan2x4tan2x=−1 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến. Câu 8: Rút gọn biểu thức A=2cos22α+3sin4α−12sin22α+3sin4α−1 . Lời giải: Ta có: A=2cos22α+3sin4α−12sin22α+3sin4α−1 \=cos4α+3sin4α3sin4α−cos4α \=12cos4α+32sin4α32sin4α−12cos4α \=sin4α+30°sin4α−30° Câu 9: Biến đổi biểu thức sinα−1 thành tích các biểu thức. Lời giải: Ta có: sinα−1=sinα−sinπ2 \=2cosα+π22sinα−π22 \=2cosα2+π4sinα2−π4. Câu 10: Biết sinβ=45, 0<β<π2 và α≠kπ. Chứng minh biểu thức: A=3sinα+β−4cosα+β3sinα không phụ thuộc vào α. Lời giải: Ta có 0<β<π2sinβ=45⇒cosβ=35 A=3sinα+β−4cosα+β3sinα \=3(sinαcosβ+cosαsinβ)−4(cosαcosβ−sinαsinβ)3sinα \=335sinα+45cosα−435cosα−45sinα3sinα \=5sinα3sinα=53 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến α.
Câu 1: Kết quả nào sau đây sai?
Câu 2: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
Câu 3: Nếu sinx+cosx=12 thì sin2x bằng
Câu 4: Cho hai góc nhọn a và b. Biết cosa=13, cosb=14. Giá trị cosa+b.cosa−b bằng:
Câu 5: Cho cosx=0. Tính A=sin2x−π6+sin2x+π6.
Đáp án: Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 C B D D A Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Săn shopee giá ưu đãi :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |