Bài viết này giới thiệu đến bạn đọc chi tiết Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện
Bài viết này giới thiệu đến bạn đọc chi tiết Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện
Công thức 1:Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$ Câu 1.Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}'}}{V}.$
Giải. Ta có $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}.$ Chọn đáp án D. Câu 2.Cho khối chóp $S.ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}'}}{V}.$
Giải. Ta có $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}.$ Chọn đáp án C. Công thức 2:Công thức Simson (tỷ số thể tích) cho khối chóp tam giác $\frac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{S{{A}_{1}}}{SA}.\frac{S{{B}_{1}}}{SB}.\frac{S{{C}_{1}}}{SC}.$ Công thức 3:Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho $\frac{S{{B}_{1}}}{S{{A}_{1}}}=k$ thì $\frac{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}}={{k}^{3}}$ (đây là trường hợp đặc biệt cho hai khối đa diện đồng dạng tỷ số $k).$ Công thức 4:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\frac{AM}{A{A}'}=x,\frac{BN}{B{B}'}=y,\frac{CP}{C{C}'}=z$ ta có ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{x+y+z}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}.$ Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích $V.$ Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $B{B}',C{C}'$ sao cho $\dfrac{MB}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},\dfrac{NC}{C{C}'}=\dfrac{1}{4}.$ Thể tích của khối chóp tứ giác $A.BMNC$ là ?
Giải.Ta có ${{V}_{A.BMNC}}=\dfrac{x+y+z}{3}V=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+0}{3}V=\dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D. Công thức 5:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{AM}{A{A}'}=X,\frac{BN}{B{B}'}=y,\frac{CP}{C{C}'}=z,\frac{DQ}{D{D}'}=t$ ta có ${V_{ABCD.MNPQ}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}$ và $x+z=y+t.$ Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ cạnh $2a,$ gọi $M$ là trung điểm của $B{B}'$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}'$ sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}'.$ Mặt phẳng $(AMP)$ cắt $C{C}'$ tại $N.$ Thể tích khối đa diện $AMNPQBCD$ bằng
Giải. Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=\dfrac{AA}{A{A}'}=0,y=\dfrac{BM}{B{B}'}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{CN}{C{C}'},t=\dfrac{DP}{D{D}'}=\dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+t\Leftrightarrow 0+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=\frac{3}{4}.$ Khi đó ${{V}_{AMNPBCD}}=\dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B. Công thức 6:Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{SM}{SA}=x,\frac{SN}{SB}=y,\frac{SP}{SC}=z,\frac{SQ}{SD}=t$ ta có ${{V}_{S.MNPQ}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right){{V}_{S.ABCD}}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}.$ Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích $V$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng qua $A,M,P$ cắt cạnh $SC$ tại $N$ với $M,P$ là các điểm thuộc các cạnh $SB,SD$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}.$ Mặt Tính thể tích khối đa diện $ABCD.MNP.$ A. $\frac{23}{30}V.$ B. $\frac{7}{30}V.$ C. $\frac{14}{15}V.$ D. $\frac{V}{15}.$ Giải. Ta có $x=\frac{SA}{SA}=1,y=\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},z=\frac{SN}{SC},t=\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\Rightarrow 1+\frac{1}{z}=2+\frac{3}{2}\Leftrightarrow z=\frac{2}{5}.$ Do đó ${{V}_{S.AMNP}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right)V=\frac{7}{30}V\Rightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=\frac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A. Công thức 9: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số $k$ có $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{k}^{3}}.$ Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi ${V}'$ là thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $\frac{{{V}'}}{V}.$
Giải. Gọi ${A}',{B}',{C}',{D}'$ lần lượt là trọng tâm các mặt $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC);$ Ta có $\frac{{A}'{B}'}{AB}=\frac{{A}'{C}'}{AC}=\frac{{A}'{D}'}{AD}=\frac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}'$ đồng dạng với khối tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\frac{1}{3}.$ Do đó $\frac{{{V}'}}{V}={{k}^{3}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27}.$Chọn đáp án B. Bài viết gợi ý:
Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tỉ số thể tích của khối lăng trụ Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 11 trang có phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi. Tài liệu Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ có đáp án gồm các nội dung chính sau: A. Phương phương giải - Gồm phương pháp giải Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ. B. Bài tập minh họa - Gồm 14 bài tập có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ. Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây: Bài giảng Toán 12: Tỷ số thể tích TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI a. Lăng trụ tam giác Kết quả 1: Gọi V là thể tích khối lăng trụ, là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: V1=V3;V2=2V3 Ví dụ: Hình lăng trụ ABC.A'B'C'→VA'B'BC=13VABC.A'B'C';VA'B'ABC=23VABC.A'B'C' Kết quả 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Mặt phẳng α cắt các đường thẳng AA',BB',CC' lần lượt tại M,N,P (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số VABC.MNPVABC.A'B'C' . HD: Ta có VABC.MNP=VM.ABC+VA.BNPC Lại có VM.ABC=13.dM;ABC.SΔABC=13.AMAA'.dA';ABC.SΔABC =13.AMAA'.VABC.A'B'C'→VM.ABC=13.AMAA'.VABC.A'B'C' Và SBNPC=h2.BN+CP; SBCC'B'=h2.BB'+CC'=h.BB' ⇒SBNPCSBCC'B'=h2.BN+CPh.BB'=12BN+CPBB'=12BNBB'+CPCC'. Suy ra VA.BNPC=13.dA;BCC'B'.SBNPC =13.dA;BCC'B'.12BNBB'+CPCC'.SBCC'B'=12BNBB'+CPCC'.VA.BCC'B' Mà VA.BCC'B'=23VABC.A'B'C'⇒VA.BNPC=13.BNBB'+CPCC'.VABC.A'B'C' Vậy VABC.MNP=13.AMAA'.VABC.A'B'C'+13.BNBB'+CPCC'.VABC.A'B'C'⇒VABC.MNPVABC.A'B'C'=13AMAA'+BNBB'+CPCC' Công thức tính nhanh VABC.MNPVABC.A'B'C'=13AMAA'+BNBB'+CPCC' b. Khối hộp Kết quả 1: Gọi V là thể tích khối hộp, V1 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai đường chéo của hai mặt song song, V2 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở các trường hợp còn lại. Khi đó: V1=V3;V2=V6 Ví dụ: Hình hộp ABCD.A'B'C'D'→VA'C'BD=13VABCD.A'B'C'D';VA'C'D'D=16VABCD.A'B'C'D' þ Kết quả 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng α cắt các đường thẳng AA',BB',CC',DD' lần lượt tại M,N,P,Q (tham khảo hình vẽ bên). Chứng minh rằng AMAA'+CPCC'=BNBB'+DQDD' và VABCD.MNPQVABCD.A'B'C'D'=12AMAA'+CPCC'=12BNBB'+DQDD' · Chứng minh AMAA'+CPCC'=BNBB'+DQDD' Gọi I là tâm hình vuông ABCD; I' là tâm hình vuông A'B'C'D'. Ta có: AMAA'+CPCC'=AM+PCAA'=2OIAA'; BNBB'+DQDD'=BN+DQBB'=2OI'BB'⇒AMAA'+CPCC'=BNBB'+DQDD'. · Chứng minh VABCD.MNPQVABCD.A'B'C'D'=12AMAA'+CPCC'=12BNBB'+DQDD' Chia khối đa diện thành hai khối đa diện ABC.MNP và ACD.MPQ; Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác; Cộng thể tích hai khối đa diện ⇒VABC.MNPVABC.A'B'C'=14AMAA'+CPCC'+BNBB'+DQDD' Mà AMAA'+CPCC'=BNBB'+DQDD'⇒VABCD.MNPQVABCD.A'B'C'D'=12AMAA'+CPCC'=12BNBB'+DQDD' Công thức tính nhanh VABCD.MNPQVABCD.A'B'C'D'=14AMAA'+CPCC'+BNBB'+DQDD'=12AMAA'+CPCC'=12BNBB'+DQDD' |