x3– 4x < 0 ⇔ x(x2- 4) < 0 ⇔ x(x - 2)(x + 2) < 0 Ta có: \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2;\) \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) Bảng xét dấu:  Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = (-∞;-2) ∪ (0;2)\) §2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn X là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)<g(x) (f(x) < g(x)) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của X. Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) < g(x0)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. Hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình ẩn X gồm một số bất phương trình ẩn X mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của X đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “o" để ch? sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương đó. Phép biến đổi tương đương Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương. Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tựơng đương. P(x) < Q(X) o P(x) + f(x) < Q(X) + f(x) Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P(x) P(x).f(x) 0, Vx P(x) Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, Vx Bình phương Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P(x) P2(x) 0,Q(x)>0, Vx B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Tìm các giá trị X thoả mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau . 1 , 1 a) - < 1 - —— ; X X +1 c) 2|x|-1+^x-1 < 2* 2x 2 . ? ... „ X -4 X -4x + 3 d) 2Ự1 — X > 3x + —— . x + 4 tfuii a) Điều kiện: ] X e R \ {0; -II X * -1 b) Điều kiện: xz - 4 * 0 X2 - 4x + 3 * 0 X * ±2 X * 1 o X e K \ (1; 3; 2; -2} X * 3 Điều kiện: X * -1 X e \ (-1Ị Điều kiện: p X-0JX_1xe (-ao; 1]\{—4| IX + 4 * 0 X * -4 b) ựl + 2(x-3)2 +V5-4X + X2 <1 Chứng minh các bất phương trinh sau vô nghiệm a) X2 + ựx + 8 < -3 ; Vl + X2 - \Ỉ7 + X2 > 1. éjiải Vì X2 > 0 và yJx + 8 > 0, Vx > -8 nên X2 + Vx + 8 > 0, Vx > -8 Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. Vì ựl + 2(x - 3)2 > 1 và Võ - 4x + X2 = ^1 + (x - 2)2 > 1 với mọi X nên yỊl + 2(x - 3)2 + Võ - 4x + X2 > 2, Vx e K Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. Vì Vl + X2 < Vĩ + X2 nên Vl + X2 - Vĩ + X2 < 0. Vx e R Bâ't phương trình đã cho vô nghiệm. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương? a) -4x + 1 > 0 và 4x - 1 < 0; b) 2x2 + 5 < 2x - 1 và 2x2 - 2x + 6 < 0; c)x+1>0vàx+1+ 1 > —; d) Vx-1 > X và (2x + 1)v/x — 1 > x(2x +1). x2 + 1 X +1 ốỹúii a) Nhân hai vế bất phương trình thứ nhát với -1 và đổi chiều ta được bâ't phương trình thứ hai (tương đương). b) Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử ta được bất phương trình tương đương. 1 c) Cộng vào hai vế bất phương trình với biểu thức X2 +1 không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được bất phương trình tương đương, d) Hai bâ’t phương trình có điều kiện chung là X > 1. Trên tập các giá trị này của X thì biểu thức 2x + 1 > 0 nên nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với biểu thức 2x + 1 ta được bất phương trình thứ hai (tương đương). 4. Giải các bất phương trinh sau 3x + 1 _ x-2 1-2x . 2 3 < 4 ' a) b) (2x - 1 )(x + 3) - 3x + 1 < (X - 1)(x + 3) + X2 - 5. a) 3x +1 X-2 1-2X 3(3x +1) - 2(x - 2) 1 - 2x n —- — -2 ’ ù L _ 2— < 0 2 3 4 6 4 7x + 7 2x - 1 o < 0 <2 14x + 14 + 6x - 3 < 0 o 20x < -11 11 c _ f 11 X < - ^. Vậy s = -o°;-êê 20 V 20 b) (2x - l)(x + 3) - 3x + 1< (x - l)(x + 3) + X2 - 5 2x2 + 5x-3-3x + 1 1 < -5 vô nghiệm, s = 0. 5. Giải các hệ bất phương trình: a) a) 8x + 3 < 2x + 5 6x + < 4x + 7 7 8x + 3 < 2x + 5; tyZd’z 2x < 7 -1 7 8x + 3 < 4x + 10 22 b) „ 44 2x < — 7 4x < 7 2 3 3X-14 15x-2>2x + 2(x -4) < X < ỳ . Vậy s = -oo; b) 15x - 2 > 2x + 3 13x> 2(x - 4) 3x -14 4x - 16 < 3x -14 X > — 39 X < 2 J- < X < 2. Vậy: s = |-J-;2 I. 39 139 1 c. BÀI TẬP LÀM THÊM Giải các bất phương trình sau: a) 2(x - 1) + X > ^7-3 + 2; . x+2x-2x-1_x c) —— + —— >3 + 7 2 3 4 2 Giải và biện luận các phương trình: a) m2x - 1 > X + m; b) (X + Tã )2 > (x - 72 )2 + 2; (m-1)x 1-x x-1 b) — > -—- - ——- 2(m + 2)> 2 m + 2 3x-1 3(x-2) 5-3X 4x-1 x-1 4-5x 18 >_Ĩ2 9— X + 4m 2x-1 Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn hệ phương trình: ĩvp iể: X = 4. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: T)áf} iế: m > - 2. Hệ bất phương trình (x+3)(4-x)>0x<m-1vô nghiệm khi A. m ≤ -2 B. m > -2 C. m < -1 D. m = 0 Tập nghiệm của bất phương trình x−3x+4<0là A. x > 4 B. -4 < x < 3 C. x < 3 D. x ≠ -4
1. Bất đẳng thức Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b; a ≥ b; a ≤ b) được gọi là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức. 2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Tính chất: Cho ba số a, b và c, ta có: Nếu a < b thì a + c < b + c; Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c; Nếu a > b thì a + c > b + c; Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c. 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương a) Tính chất Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. b) Tổng quát Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có: Nếu a < b thì ac < bc; Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc; Nếu a > b thì ac > bc; Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc. 4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm a) Tính chất Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. b) Tổng quát Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có: Nếu a < b thì ac > bc; Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc; Nếu a > b thì ac < bc; Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc. 5. Bất phương trình một ẩn - Định nghĩa bất phương trình một ẩn: Bất phương trình ẩn x là hệ thức A (x) > B (x) hoặc A (x) < B (x) hoặc A (x) ≥ B (x) hoặc A (x) ≤ B (x). Trong đó: A (x) gọi là vế trái; B (x) gọi là vế phải. - Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn để khi thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng. 6. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. 7. Hai quy tắc biến đổi a) Quy tắc chuyển vế Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó. b) Quy tắc nhân với một số Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: - Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương. - Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. 8. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau: Dạng ax + b > 0 ⇔ ax > − b. x > -ba nếu a > 0 hoặc x < -ba nếu a < 0. Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S=a>0x>−ba Hoặc S=a<0x<−ba Các dạng toán như ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 tương tự như trên. 9. Giải bất phương trình đưa được về dạng ax + b < 0 ; ax + b > 0 ; ax + b ≤ 0 ; ax + b ≥ 0 Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b > 0: Để giải các phương trình đưa được về ax + b > 0, ta thường biến đổi phương trình như sau: Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có). Bước 2: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax > c. Bước 3: Tìm x. Các phương trình đưa được về dạng ax + b < 0, ax + b ≤ 0 hoặc ax + b ≥ 0 làm tương tự như trên. 10. Giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là | a |, ta định nghĩa như sau: |a|=a khi a≥0 ;−a khi a<0. 11. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Phương pháp chung Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Bước 2: Rút gọn hai vế của phương trình, giải phương trình. Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét. Bước 4: Kết luận nghiệm. b) Một số dạng cơ bản Dạng | A | = B Cách 1: |A|=B⇔A≥0 A=B hoặc A<0 −A=B Cách 2: |A|=B⇔B≥0 A=B hoặc B≥0 A=−B Dạng | A | = | B | ⇔ A = B hoặc A = − B. Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: - Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối. - Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định. - Xét từng khoảng, khử các dấu giá trị tuyệt đối, rồi giải phương trình tương ứng trong trường hợp đó. - Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của phương trình đã cho. Page 2
1. Bất đẳng thức Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b; a ≥ b; a ≤ b) được gọi là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức. 2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Tính chất: Cho ba số a, b và c, ta có: Nếu a < b thì a + c < b + c; Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c; Nếu a > b thì a + c > b + c; Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c. 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương a) Tính chất Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. b) Tổng quát Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có: Nếu a < b thì ac < bc; Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc; Nếu a > b thì ac > bc; Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc. 4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm a) Tính chất Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. b) Tổng quát Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có: Nếu a < b thì ac > bc; Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc; Nếu a > b thì ac < bc; Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc. 5. Bất phương trình một ẩn - Định nghĩa bất phương trình một ẩn: Bất phương trình ẩn x là hệ thức A (x) > B (x) hoặc A (x) < B (x) hoặc A (x) ≥ B (x) hoặc A (x) ≤ B (x). Trong đó: A (x) gọi là vế trái; B (x) gọi là vế phải. - Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn để khi thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng. 6. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. 7. Hai quy tắc biến đổi a) Quy tắc chuyển vế Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó. b) Quy tắc nhân với một số Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: - Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương. - Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. 8. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau: Dạng ax + b > 0 ⇔ ax > − b. x > -ba nếu a > 0 hoặc x < -ba nếu a < 0. Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S=a>0x>−ba Hoặc S=a<0x<−ba Các dạng toán như ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 tương tự như trên. 9. Giải bất phương trình đưa được về dạng ax + b < 0 ; ax + b > 0 ; ax + b ≤ 0 ; ax + b ≥ 0 Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b > 0: Để giải các phương trình đưa được về ax + b > 0, ta thường biến đổi phương trình như sau: Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có). Bước 2: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax > c. Bước 3: Tìm x. Các phương trình đưa được về dạng ax + b < 0, ax + b ≤ 0 hoặc ax + b ≥ 0 làm tương tự như trên. 10. Giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là | a |, ta định nghĩa như sau: |a|=a khi a≥0 ;−a khi a<0. 11. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Phương pháp chung Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Bước 2: Rút gọn hai vế của phương trình, giải phương trình. Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét. Bước 4: Kết luận nghiệm. b) Một số dạng cơ bản Dạng | A | = B Cách 1: |A|=B⇔A≥0 A=B hoặc A<0 −A=B Cách 2: |A|=B⇔B≥0 A=B hoặc B≥0 A=−B Dạng | A | = | B | ⇔ A = B hoặc A = − B. Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: - Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối. - Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định. - Xét từng khoảng, khử các dấu giá trị tuyệt đối, rồi giải phương trình tương ứng trong trường hợp đó. - Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của phương trình đã cho. Page 3
1. Bất đẳng thức Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b; a ≥ b; a ≤ b) được gọi là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức. 2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Tính chất: Cho ba số a, b và c, ta có: Nếu a < b thì a + c < b + c; Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c; Nếu a > b thì a + c > b + c; Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c. 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương a) Tính chất Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. b) Tổng quát Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có: Nếu a < b thì ac < bc; Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc; Nếu a > b thì ac > bc; Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc. 4. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm a) Tính chất Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. b) Tổng quát Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có: Nếu a < b thì ac > bc; Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc; Nếu a > b thì ac < bc; Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc. 5. Bất phương trình một ẩn - Định nghĩa bất phương trình một ẩn: Bất phương trình ẩn x là hệ thức A (x) > B (x) hoặc A (x) < B (x) hoặc A (x) ≥ B (x) hoặc A (x) ≤ B (x). Trong đó: A (x) gọi là vế trái; B (x) gọi là vế phải. - Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn để khi thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng. 6. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. 7. Hai quy tắc biến đổi a) Quy tắc chuyển vế Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu hạng tử đó. b) Quy tắc nhân với một số Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: - Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương. - Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. 8. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau: Dạng ax + b > 0 ⇔ ax > − b. x > -ba nếu a > 0 hoặc x < -ba nếu a < 0. Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S=a>0x>−ba Hoặc S=a<0x<−ba Các dạng toán như ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 tương tự như trên. 9. Giải bất phương trình đưa được về dạng ax + b < 0 ; ax + b > 0 ; ax + b ≤ 0 ; ax + b ≥ 0 Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b > 0: Để giải các phương trình đưa được về ax + b > 0, ta thường biến đổi phương trình như sau: Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có). Bước 2: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax > c. Bước 3: Tìm x. Các phương trình đưa được về dạng ax + b < 0, ax + b ≤ 0 hoặc ax + b ≥ 0 làm tương tự như trên. 10. Giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là | a |, ta định nghĩa như sau: |a|=a khi a≥0 ;−a khi a<0. 11. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Phương pháp chung Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Bước 2: Rút gọn hai vế của phương trình, giải phương trình. Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét. Bước 4: Kết luận nghiệm. b) Một số dạng cơ bản Dạng | A | = B Cách 1: |A|=B⇔A≥0 A=B hoặc A<0 −A=B Cách 2: |A|=B⇔B≥0 A=B hoặc B≥0 A=−B Dạng | A | = | B | ⇔ A = B hoặc A = − B. Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: - Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu giá trị tuyệt đối. - Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định. - Xét từng khoảng, khử các dấu giá trị tuyệt đối, rồi giải phương trình tương ứng trong trường hợp đó. - Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của phương trình đã cho. |
