3. Luyện tập Bài 6 chương 3 hình học 11Nội dung bài Ôn tập chương III Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian sẽ giúp các em hệ thống những nội dung kiến thức trọng tâm của toàn chương từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Show 3.1 Trắc nghiệm về Ôn tập chương 3 Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gianĐể cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Bài 6: Ôn tập chương III - Hình học 11 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa. Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé! 3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Ôn tập chương 3 Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc trong không gianBên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Bài 6: Ôn tập chương III - Hình học 11 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao. Bài tập 1 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 2 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 4 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 6 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 7 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 8 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 9 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 10 trang 120 SGK Hình học 11 Bài tập 1 trang 121 SGK Hình học 11 Bài tập 2 trang 121 SGK Hình học 11 Bài tập 3 trang 121 SGK Hình học 11 Bài tập 4 trang 121 SGK Hình học 11 Bài tập 5 trang 121 SGK Hình học 11 Bài tập 6 trang 122 SGK Hình học 11 Bài tập 7 trang 122 SGK Hình học 11 Bài tập 3.41 trang 161 SBT Hình học 11 Bài tập 3.42 trang 161 SBT Hình học 11 Bài tập 3.43 trang 161 SBT Hình học 11 Bài tập 3.44 trang 162 SBT Hình học 11 Bài tập 3.45 trang 162 SBT Hình học 11 Bài tập 3.46 trang 162 SBT Hình học 11 Bài tập 3.47 trang 162 SBT Hình học 11 Bài tập 3.49 trang 163 SBT Hình học 11 Bài tập 3.50 trang 163 SBT Hình học 11 Bài tập 3.51 trang 163 SBT Hình học 11 Bài tập 3.52 trang 163 SBT Hình học 11 Bài tập 3.53 trang 163 SBT Hình học 11 Bài tập 3.54 trang 164 SBT Hình học 11 Bài tập 3.55 trang 164 SBT Hình học 11 Bài tập 3.56 trang 164 SBT Hình học 11 Bài tập 3.57 trang 164 SBT Hình học 11 Bài tập 3.58 trang 164 SBT Hình học 11 Bài tập 3.59 trang 165 SBT Hình học 11 Bài tập 3.60 trang 165 SBT Hình học 11 Bài tập 3.61 trang 165 SBT Hình học 11 Bài tập 3.62 trang 165 SBT Hình học 11 Bài tập 3.63 trang 165 SBT Hình học 11 Bài tập 3.64 trang 165 SBT Hình học 11 Bài tập 3.65 trang 165 SBT Hình học 11 Bài tập 3.66 trang 166 SBT Hình học 11 Bài tập 3.67 trang 166 SBT Hình học 11 Bài tập 3.68 trang 166 SBT Hình học 10 Bài tập 3.69 trang 166 SBT Hình học 11 Bài tập 3.70 trang 167 SBT Hình học 11 Bài tập 3.71 trang 167 SBT Hình học 11 Bài tập 3.72 trang 167 SBT Hình học 11 Bài tập 3.73 trang 168 SBT Hình học 11 Bài tập 1 trang 120 SGK Hình học 11 NC Bài tập 2 trang 120 SGK Hình học 11 NC Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11 NC Bài tập 4 trang 120 SGK Hình học 11 NC Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11 NC Bài tập 6 trang 120 SGK Hình học 11 NC Bài tập 7 trang 121 SGK Hình học 11 NC Bài tập 8 trang 121 SGK Hình học 11 NC Bài tập 1 trang 122 SGK Hình học 11 NC Bài tập 2 trang 122 SGK Hình học 11 NC Bài tập 3 trang 122 SGK Hình học 11 NC Bài tập 4 trang 122 SGK Hình học 11 NC Bài tập 5 trang 122 SGK Hình học 11 NC Bài tập 6 trang 123 SGK Hình học 11 NC Bài tập 7 trang 123 SGK Hình học 11 NC Bài tập 8 trang 123 SGK Hình học 11 NC Bài tập 9 trang 123 SGK Hình học 11 NC Bài tập 10 trang 123 SGK Hình học 11 NC Bài tập 11 trang 124 SGK Hình học 11 NC Bài tập 12 trang 124 SGK Hình học 11 NC 4. Hỏi đáp về bài 6 chương 3 hình học 11Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.
Nội dung bài ôn tập chươngDãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhânsẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ởChương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao. Bạn đang xem: Sơ đồ tư duy toán 11 chương 3 đại số 1. Tóm tắt lý thuyết 1.1. Tổng quát nội dung chương III 1.2. Các dạng bài tập chương III 2. Bài tập minh hoạ 3.Luyện tập bài 5 chương 3 giải tích 11 3.1. Trắc nghiệm vềÔn tập Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân 3.2. Bài tập SGK & Nâng cao vềÔn tập Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân 4.Hỏi đáp vềbài 5 chương 3 giải tích 11 Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta luôn có: a) \({1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\) b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\) Hướng dẫn giải:a) Bước 1: Với \(n = 1\) ta có: \(VT = {1^2} = 1,{\rm{ }}VP = \frac{{1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\) \( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\). Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là: \({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\) (1) Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh: \({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 3)}}{6}\) (2). Thật vây: \(VT(2) = \left< {{1^2} + {2^2} + ... + {k^2}} \right> + {(k + 1)^2}\)\(\mathop = \limits^{{\rm{do }}(1)} \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\) \( = (k + 1)\left< {\frac{{2{k^2} + k}}{6} + k + 1} \right> = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6}\) \( = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP(2)\) \( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \)đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\). b) * Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1 = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\) * Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\) (1) Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh \(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\) (2). Thật vậy:\(VT(2) = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = VP(2)\) \( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng. Ví dụ 2:Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} + \sqrt {{u_{n - 1}}} {\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy tăng và bị chặn. Hướng dẫn giải:Ta chứng minh dãy \(({u_n})\) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp * Dễ thấy: \({u_1} \sqrt {{u_{k - 1}}} + \sqrt {{u_{k - 2}}} = {u_k}\) Vậy \(({u_n})\) là dãy tăng. Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} 0\) Nên dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn. Ví dụ 3:Chứng minh rằng : a) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSC thì \(9ab = 2{a^3} + 27c\) b) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSN thì \(c(c{a^3} - {b^3}) = 0\) Hướng dẫn:a) Giả sử phương trình có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSC Suy ra: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\) (1) Mặt khác: \({x^3} - a{x^2} + bx - c = (x - {x_1})(x - {x_2})(x - {x_3})\) \( = {x^3} - ({x_1} + {x_2} + {x_3}){x^2} + ({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1})x - {x_1}{x_2}{x_3}\) Suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = a\) (2) Từ (1) và (2), ta suy ra \(3{x_2} = a\) hay \({x_2} = \frac{a}{3}\) Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \frac{a}{3}\), tức là: \({\left( {\frac{a}{3}} \right)^3} - a{\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} + b\left( {\frac{a}{3}} \right) - c = 0 \Leftrightarrow - \frac{{2{a^3}}}{{27}} + \frac{{ba}}{3} - c = 0 \Leftrightarrow 9ab = 2{a^3} + 27c\) Ta có đpcm. b) Giả sử ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSN, suy ra \({x_1}{x_3} = x_2^2\) Theo phân tích bài trên, ta có: \({x_1}{x_2}{x_3} = c \Rightarrow x_2^3 = c \Rightarrow {x_2} = \sqrt<3>{c}\) Hay phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \sqrt<3>{c}\), tức là: \({\left( {\sqrt<3>{c}} \right)^3} - a{\left( {\sqrt<3>{c}} \right)^2} + b\sqrt<3>{c} - c = 0 \Leftrightarrow b\sqrt<3>{c} = a\sqrt<3>{{{c^2}}} \Leftrightarrow c(c{a^3} - {b^3}) = 0\) Bài toán được chứng minh. Ví dụ 4:a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\) \(\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \cos A;\cos B;\cos C\) lập thành cấp số cộng. b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng \(\cot \frac{A}{2};\cot \frac{B}{2};\cot \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \sin A;\sin B;\sin C\) lập thành cấp số cộng. Hướng dẫn giải:a)Ta có: \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} = 2\tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin (\frac{A}{2} + \frac{C}{2})}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}\) \( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}\left< {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right>\) \( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 - \cos B}}{2} + \frac{1}{2}\left< {\cos A + \cos C} \right>\) \( \Leftrightarrow \cos B = \frac{{\cos A + \cos C}}{2} \Leftrightarrow \cos A,\cos B,\cos C\) lập thành CSC. Xem thêm: ✅ Công Thức Toán 10 Hình Học Lớp 10 Đầy Đủ Nhất, Tổng Hợp Các Công Thức Trong Hình Học 10 b)Ta có: \(\cot \frac{A}{2} - \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{B}{2} - \cot \frac{C}{2}\) \( \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} - \cos \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} - \cos \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}\) \( \Leftrightarrow \sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2} = \sin \frac{{C - B}}{2}.\cos \frac{{C + B}}{2}\) \( \Leftrightarrow \sin B - \sin A = \sin C - \sin B \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\). |