Hai người thợ cùng làm một công việc trong \(16\) giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? Phương pháp giải - Xem chi tiết B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. B2: Giải hệ phương trình. B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời Chú ý: +) Quy ước làm xong công việc là \(1\). +) Một người làm xong trong \(x\) giờ thì trong \(1\) giờ làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc. Lời giải chi tiết Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là: \(x\) giờ, người thứ hai hoàn thành công việc một mình là \(y\) giờ. Điều kiện \(x > 16, y > 16\). Trong \(1\) giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc, người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\) công việc. Do đó cả hai người cùng làm chung thì trong 1 giờ làm được: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) công việc. Theo đề bài, hai người làm chung trong \(16\) giờ thì xong nên trong \(1\) giờ hai người làm được: \(\dfrac{1}{16}\) công việc. Nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{16}\) (1). Trong \(3\) giờ, người thứ nhất làm được: \(3. \dfrac{1}{x}\) công việc. Trong \(6\) giờ người thứ hai làm được: \(6. \dfrac{1}{y}\) công việc. Theo đề bài, nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được \(25\) %\(=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}\) công việc. Nên ta có phương trình: \(3. \dfrac{1}{x} + 6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\) (2) Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{16} & & \\ 3.\dfrac{1}{x} + 6. \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\) với \(a > 0,\ b> 0.\) Hệ đã cho trở thành: \(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{1}{16} & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a =\dfrac{1}{16} -b & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3{\left(\dfrac{1}{16} -b \right)}+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3.\dfrac{1}{16} -3b+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3b= \dfrac{1}{4} -\dfrac{3}{16}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3b=\dfrac{1}{16} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}- \dfrac{1}{48} & & \\ b=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{24} & & \\ b=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn) \right.\) Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{24} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =24 & & \\ y=48 & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\) Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong \(24\) giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong \(48\) giờ. Bài 33. Cho \(A, B, C\) là ba điểm của một đường tròn. \(At\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(A\). Đường thẳng song song với \(At\) cắt \(Ab\) tại \(M\) và cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh: \(AB. AM = AC . AN\) Hướng dẫn giải:  Ta có \(\widehat M = \widehat {BAt}\) (so le trong) (1) \(\widehat {BAt} = \widehat C\) (2) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, chắn cung \(AB\), \(\widehat C\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat M = \widehat C\) (3) Xét hai tam giác \(AMN\) và \(ACB\). chúng có: \(\widehat A\) chung \(\widehat M = \widehat C\) Vậy \(∆AMN\) đồng dạng \(∆ACB\), từ đó \({{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}\), suy ra \(AB. AM = AC . AN\) Bài 34 trang 80 sgk Toán lớp 9 tập 2 Bài 34. Cho đường tròn \((O)\) và điểm \(M\) nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm \(M\) kẻ tiếp tuyến \(MT\) và cát tuyến \(MAB\) Chứng minh \(MT^2 = MA. MB\). Hướng dẫn giải: Xét hai tam giác \(BMT\) và \(TMA\), chúng có: \(\widehat{M}\) chung \(\widehat{B}\) = \(\widehat{T}\) (cùng chắn cung nhỏ \(\overparen{AT}\)) nên \(∆BMT\) đồng dạng \(∆TMA\), suy ra \(\frac{MT}{MA}\) = \(\frac{MB}{MT}\) hay \(MT^2 = MA. MB\) Bài 35 trang 80 sgk Toán lớp 9 tập 2 Bài 35. Trên bờ biển có ngọn hải đăng cao \(40m\). Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này biết rằng mắt người quan sát ở độ cao \(10 m\) so với mực nước biển và kính Trái Đất gần bằng \(6 400 km\) (h.30)? |
