GV: NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Gmail: Website: Tailieumontoan.com Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs BÍ QUYẾT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THCS Chuyên đê BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ LƯU HÀNH NỘI BỘ NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC & CỰC TRỊ ĐẠI SỐ ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8, 9 ● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán ● Phân dạng và phương pháp giải rõ ràng TỦ SÁCH CẤP 2| 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Lêi giíi thiÖu Các em học sinh và thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Cẩm nang chứng minh bất đẳng thức THCS được các tác giả biên soạn nhằm giúp các em học sinh học tập tốt môn Toán ở THCS hiện nay và THPT sau này. Các tác giả cố gắng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành một hệ thống để bồi dưỡng học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách được viết theo các chủ đề tương ứng với các vấn đề quan trọng thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán THCS, cũng như vào lớp 10 chuyên môn toán trên cả nước. Mỗi chủ đề được viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, các dạng toán thường gặp, bài tập rèn luyện giúp các em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện được các kiến thức đã học. Mỗi chủ đề có ba phần: A. Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung cần thiết để làm cơ sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề. B. Một số ví dụ: Phần này đưa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ năng và phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi. Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo những nhận xét, lưu ý, bình luận và phương pháp giải, về những sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán. C. Bài tập vận dụng: Phần này, các tác giả đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại theo các dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi Toán và đề vào lớp 10 chuyên Toán. Các em hãy cố gắng tự giải. Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! TỦ SÁCH CẤP 2| 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI CHỦ ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | PHƯƠNG PHÁP 1 DÙNG ĐỊNH NGHĨA A. KiÕn thøc cÇn nhí ● Để chứng minh A ≥ B ta xét hiệu A – B và chứng minh hiệu A – B là số không âm bằng cách dồn về các tổng bình phương. B. VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có: ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)( x − 4 ) ≥ −1 Hướng dẫn giải Xét hiệu: A= ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)( x − 4 ) − ( −1) = ( x − 1)( x − 4 )  ( x − 2 )( x − 3)  + 1 = (x 2 − 5x + 4 )( x 2 − 5x + 6 ) + 1 Đặt y = x 2 − 5x + 5 ta được A = ( y − 1)( y + 1) + 1 = y 2 − 1 + 1 = y 2 ≥ 0 Vậy ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)( x − 4 ) ≥ −1 Thí dụ 2. Cho a, b là các số thực. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b Hướng dẫn giải 1 Xét hiệu: A =a 2 + b 2 + 1 − ab − a − b = ( a − 2ab + b 2 ) + ( a 2 − 2a + 1) + ( b 2 − 2b + 1)  2 = 1 2 2 2 ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1)  ≥ 0  2 Vậy a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta đều có: a 6 + 1 ≥ a 2 ( a 2 + 1) Hướng dẫn giải Xét hiệu: A = a 6 + 1 − a 2 ( a 2 + 1) = a 6 − a 4 − a 2 + 1 5 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ● Lưu ý : A2 ≥ 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . = a 4 ( a 2 − 1) − ( a 2 − 1) = = (a 2 − 1) 2 (a 2 (a 2 − 1)( a 4 − 1) + 1) ≥ 0 Ta có A ≥ 0 do a 2 + 1 > 0 và ( a 2 − 1) ≥ 0 2 Vậy a 6 + 1 ≥ a 2 ( a 2 + 1) Dấu bằng xảy ra khi a = 1 hoặc a = -1 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta đều có: a 2 + 9b 2 + c 2 + 19 > 2a + 12b + 4c 2 Hướng dẫn giải Xét hiệu: 19   A =  a 2 + 9b 2 + c 2 +  − ( 2a + 12b + 4c ) = 2  1 2 2 2 =( a − 1) + ( 3b − 2 ) + ( c − 2 ) + > 0 2 (a 2 − 2a + 1) + ( 9b 2 − 12b + 4 ) + ( c 2 − 4c + 4 ) + 1 2 Ta có A > 0 do ( a − 1) ≥ 0, ( 3b − 2 ) ≥ 0 và ( c − 2 ) ≥ 0 2 Vậy a 2 + 9b 2 + c2 + 2 2 19 > 2a + 12b + 4c 2 Thí dụ 5. Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y không âm ( x + y ) ( x 3 + y 3 ) ≥ ( x 2 + y 2 ) 2 Hướng dẫn giải Xét hiệu hai vế: ( x + y ) ( x 3 + y 3 ) − ( x 2 + y 2 ) = x 4 + xy 3 + x3 y + y 4 − x 4 − 2 x 2 y 2 − y 4 2 = xy ( y 2 + x 2 − 2 xy = ) xy ( x − y ) ≥ 0 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0, hoặc y = 0, hoặc x = y C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh rằng với mọi x ta có: ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) + 1 ≥ 0 2) Chứng minh rằng mới mọi a, b, c ta đều có: a 2 + 4b 2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c − 14 3) Chứng minh với mọi x, y, z ta có: a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx 4) Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: 4x 2 + 4xy + 4y 2 > 6y − 4 b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy − 2xz + 2yz TỦ SÁCH CẤP 2| 6 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHỦ ĐỀ 2 A. KiÕn thøc cÇn nhí Để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A ≤ B ⇔ ... ⇔ C ≤ D với C ≤ D luôn đúng. Một số bất đẳng thức cần nhớ : Với a, b, c ta có : 2 ( ⇔ ( a − b) 2 ≥0 ) + ) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca. 1 1 1 2 2 2 2   + ) 3 ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) ≤ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 )  ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0  2 2 2   B. VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1. Cho các số thực a, b, c. Chứng minh đẳng thức: a 2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  3 3   2 (1) Hướng dẫn giải a 2 + b2 + c2  a + b + c  ≥ Ta có:  3 3   ⇔ 3 ( a 2 + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c ) 3 (1) 2 ⇔ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) ⇔ ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 ) + ( c 2 − 2ca + a 2 ) ≥ 0 ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ≥ 0 2 2 2 ( 2) Bất đẳng thức (2) đúng. Vậy bất đẳng thức (1) đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Thí dụ 2. Chứng minh đẳng thức ( a 2 − b 2 )( c 2 − d 2 ) ≤ ( ac − bd ) Hướng dẫn giải (1) ⇔ a 2c 2 − a 2 d 2 − b2c 2 + b2 d 2 ≤ a 2c 2 − 2abcd + b2 d 2 ⇔ 0 ≤ a 2 d 2 + b 2 c 2 − 2abcd ⇔ 0 ≤ ( ad − bc ) 2 Bất đẳng thức ( 3) đúng. Vậy bất đẳng thức (1) đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc 7 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ( 3) 2 (1) CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC + ) 4ab ≤ ( a + b ) ≤ 2 ( a 2 + b 2 ) Thí dụ 3. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a (b + c + d + e) ∀a, b, c, d , e ∈ R Hướng dẫn giải Ta có: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a (b + c + d + e) ⇔ a2 a2 a2 a2 − ab + b 2 + − ac + c 2 + − ad + d 2 + − ae + e 2 ≥ 0 4 4 4 4 2 2 2 2 a  a  a  a  ⇔  −b +  − c +  − d  +  − e ≥ 0 2  2  2  2  CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Bất đẳng thức cuối cùng đúng các phép biến đổi là tương đương nên bài toán được chứng minh. a 2 Dấu “=” xảy ra khi: b= c= d= Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 2 ( a 4 + b 4 ) ≥ ab3 + a 3 b + 2a 2 b 2 Hướng dẫn giải Để ý với a = b thì có dấu bằng đẳng thức nên ta tách các số hạng để tạo ra nhân tử chung ( a − b ) 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 4 − 2a 2 b 2 + b 4 + a 4 − a 3 b + b 4 + b 4 − ab3 ≥ 0 ⇔ ( a 2 − b 2 ) + ( a 3 − b3 ) ( a − b ) ≥ 0 2 2 2 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) + ( a 2 + ab + b 2 )  ≥ 0   2 2 ⇔ ( a − b )  2 ( a + b ) + 2a 2 + 2ab + 2b 2  ≥ 0   2 2 2 2 ⇔ ( a − b ) 3 ( a + b ) + a + b  ≥ 0   Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b . Chú ý: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc ( hai thường xuất hiện các đại lượng a - b ) ; ( b - c) ; (c - a) 2 2 2 với điều kiện dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c . Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xảy ra để từ đó có hướng đi hợp lí. Thí dụ 5. Cho 2 số thực x, y dương. Chứng minh rằng: a + b ≥ 12ab 9 + ab Hướng dẫn giải Ta có: TỦ SÁCH CẤP 2| 8 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 12ab 9 + ab ⇔ ( a + b )( 9 + ab ) ≥ 12ab ( do 9 + ab > 0 ) a+b≥ ⇔ 9a + 9b + a 2 b + ab 2 ≥ 12ab ⇔ ( a 2 b − 6ab + 9b ) + ( ab 2 − 6ab + 9a ) ≥ 0 ⇔ b ( a − 3) + a ( b − 3) ≥ 0 ( 2 ) 2 2 Vì a, b > 0 nên b ( a − 3) ≥ 0 và a ( b − 3) ≥ 0 do đó (2) đúng. 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi a = b = 3. Hướng dẫn giải a2b 1 a 2 + 2ab = = ; 1. Nên ta biến đổi Để ý a = b thì có dấu bằng của đẳng thức, khi đó 3 2a + b3 3 2a 2 + b 2 như sau : − ( a − b ) ( 2a + b ) − ( a − b ) a2b 2 a 2 + 2ab a2b 1 a 2 + 2ab .⇔ 3 .−1 ⇔ + ≥ 2 − ≥ 2 ≥ 3 3 2 3 2 3 2a + b 2a + b 2a + b 3 2a + b 2a 2 + b 2 3 ( 2a 2 + b3 ) 2 2  1 2a + b  2 2 3 ( 2a 3 + b3 ) − ( 2a + b ) ( 2a 2 + b 2 )   0 a b ⇔ ( a − b)  2 − ≥ ⇔ − ( ) 2 3 3   3 ( 2a + b )   2a + b ⇔ ( a − b )  2a 2 + 2b3 − 2a 2 b − 2ab 2  ≥ 0 ⇔ ( a + b )( a − b ) ≥ 0 2 4 Ta có bất đẳng thức được chứng minh. Thí dụ 7. Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: 2ab 2 a + 4b 2 + b2 2 3a + 2b 2 ≥ 3 5 Hướng dẫn giải 2ab 2 b2 1 = ; đó 2 . Nên ta ta biến đổi Dấu đẳng thức xảy ra với a = b , khi = 2 2 2 5 3a + 2b 5 a + 4b 2 2ab 1 b2 ≥ 0 . Tới đây ta quy đồng hai vế và phân - 2 + 5 a + 4b 2 5 3a 2 + 2b 2 tích thành các bình phương. bất đẳng thức thành Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2ab a 2 + 4b 2 + b2 3a 2 + 2b 2 9 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ≤ 3 2 2ab 1 b2 ⇔ - 2 + ≥0 5 5 a + 4b 2 5 3a 2 + 2b 2 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC a2b 2 a 2 + 2ab + ≥ . Thí dụ 6. Cho 2 số thực a, b dương. Chứng minh rằng: 2a 3 + b3 3 2a 2 + b 2