Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức ôn thi vào chuyên Toán. Show
Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến? Câu trả lời là rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội và khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn nào đó. Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy, đôi khi bạn không thể hiểu được vì sao người ta lại tìm ra một lời giải trông có vẻ “ kì cục” như thế. Phải chăng là lần mò và may rủi mới tìm ra được? Câu trả lời là mỗi lời giải đều có sự giải thích riêng của bản thân nó. Để thấy được tính hiệu quả của phương pháp này chúng ta cùng phân tích hai bài toán sau. Tài liệu gồm 12 trang tuyển chọn lý thuyết và bài tập về chủ đề này. Nội dung cụ thể bao gồm: 1. Phân tích ý tưởng của phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức. 2. Một số bài toán áp dụng phƣơng pháp hệ số bất định. 3. Sự kết hợp giữa đổi biến và phương pháp hệ số bất định. Nhóm thuvientoan.net hy vọng với tài liệu Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức, các bạn sẽ học tập được những điều bổ tích và chuẩn bị thật tốt cho các kỳ thi HSG cũng như kỳ thi vào lớp 10 chuyên Toán sắp tới. Chúc các bạn học tốt!
Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt. THEO THUVIENTOAN.NET
Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh BĐTTài liệu Toán 9 PHƯƠNG PHÁP UCT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (UCT – Un coeficent Teachmque – Kỹ thuật hệ số bất định) Sử dụng các biểu thức phụ chứa các hệ số chưa xác định để giải bài toán dễ dàng hơn. Biểu thức phụ không có dạng cố định nào cả. Dấu hiệu để sử dụng phương pháp UCT đó là khi gặp những bài toán khó, các bài toán các biến có tính chất đối xứng. * Phương pháp chung: + Bước 1: Dự đoán điểm rơi (để xác định hệ số bất định được dễ dàng hơn). + Bước 2: Tìm biểu thức phụ (Lưu ý: Bậc của biểu thức phụ phải bằng bậc của hạng tử trong điều kiện đã cho ban đầu của bài toán) và chứng minh bất đẳng thức phụ. + Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức phụ vào chứng minh bài toán. * Phân tích: Ở 3 ví dụ trên ta nhận thấy các bài toán đều có điều kiện ban đầu, điều đó giúp ta dự đoán được điểm rơi một cách chính xác. Nhưng ở bài toán này không cho điều kiện rằng buộc giữa các biến nên rất khó dự đoán điểm rơi. Để giải quyết được vấn đề này chúng ta cùng làm quen với “Kỹ thuật chuẩn hóa” trong chứng minh bất đẳng thức. Nhưng hẳn sẽ tồn tại câu hỏi: Thế nào là chuẩn hóa? Chuẩn hóa đơn giản chỉ là cách ta đặt ẩn phụ và từ đó làm xuất hiện điều kiện rằng buộc giữa các biến mới. … Xem chi tiết dưới đây ↓ >> Tải về file word TẠI ĐÂY. Xem thêm : Phương pháp liên hợp giải phương trình vô tỷ tại đây. RelatedPhương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng đẳng thứcPhương pháp hệ số bất định được sử dụng nhiều trong chứng minh bất đẳng đẳng thức. Tuy nhiên nhiều học sinh chưa hiểu rõ về phương pháp này.Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội cùng các em đi tìm hiểu cách áp dụng phương pháp hệ số bất định vào làm một bài toán chứng minh BĐT qua các ví dụ. 1. Ví dụ mở đầu
Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành $ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 5$ Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây $ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$ Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với $ \displaystyle \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 2{{a}^{2}}+6a+3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0$ Hiển nhiên đúng với a là số thực dương. Áp dụng tương tự ta được$ \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2b}{3};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2c}{3}$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 7-\frac{2\left( a+b+c \right)}{3}=5$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=c=1$. Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta. Bài toán trên các biến trong cả hai vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức sau $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0$ Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với a thực dương. Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện . Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+ma+n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ Trong đó m và n là các hệ số chưa xác định. Thiết lập tương tự với các biến b và c ta được $ \displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mb+n;\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mc+n$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}}{3}\ge 5+m\left( a+b+c \right)+3n=5+3\left( m+n \right)$ Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện $ \displaystyle m+n=0\Leftrightarrow n=-m$. Thế vào (1) dẫn đến $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng. Chú ý đẳng thức xẩy ra tại $ a=b=c=1$nên ta cần xác định m sao cho $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}-m \right)\ge 0$ Khi cho $ a=1$thì ta có $ \displaystyle \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}=-\frac{2}{3}$từ đó ta dự đoán rằng $ \displaystyle m=-\frac{2}{3}$để tạo thành đại lượng bình phương $ {{\left( a-1 \right)}^{2}}$trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ $ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$
Ta đi chứng minh bất đẳng thức $ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b$ Thật vậy, dễ dàng chứng minh được $ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge ab\left( a+b \right)$, ta biến đổi tương đương bất đẳng thức bên như sau $ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge ab\left( a+b \right)\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le 6{{a}^{3}}-ab\left( a+b \right)\\\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le a\left( 6{{a}^{2}}-ab-{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le a\left( 2a-b \right)\left( 3a+b \right)\\\Leftrightarrow \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b\end{array}$ Hoàn toàn tương tự ta được$ \frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}\le 2b-c;\,\,\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le 2c-a$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được$ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}+\frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}+\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le a+b+c=3$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi $ a=b=c=1$. Nhận xét:Hoàn toàn tương tự như bài toán trên, ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức $ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le ma+nb$ đúng, với $ m+n=1\Leftrightarrow n=1-m$. Ta viết lại bất đẳng thức trên thành $ \frac{\frac{5{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}-1}{\frac{a}{b}+\frac{3{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}\le \frac{ma}{b}+1-m\Leftrightarrow \frac{5{{t}^{3}}-1}{t+3{{t}^{2}}}\le m\left( t-1 \right)+1$với$ t=\frac{a}{b}$ Để ý đến đẳng thức xẩy ra tại $ a=b=c$tức là xẩy ra tại $ t=1$, khi đó ta cần xác định m sao cho $ \frac{5{{t}^{3}}-1}{t+3{{t}^{2}}}\le m\left( t-1 \right)+1\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( \frac{5{{t}^{2}}+2t+1}{t+3{{t}^{2}}}-m \right)\le 0$ Cho $ t=1$thì ta được $ \frac{5{{t}^{2}}+2t+1}{t+3{{t}^{2}}}=2$nên ta chọn $ m=2$và từ đó ta được $ n=-1$. Khi này ta đi chứng minh bất đẳng thức$ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b$. Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” như vậy. Phải chăng đó là dự đoán một cách may mắn. Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Câu trả lời là hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo một qui luật của nó. Ở các phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề này theo chiều hướng khá mới mẻ. Kỹ thuật này có tên là U.C.T, là viết tắt của 3 chữ cái đầu của cụm từ tiếng AnhUndefinedCoefficientTechnique hay còn gọi là kỹ thuật hệ số bất định. Đây là một kỹ thuật cơ bản và là nền tảng quan trọng trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó. 2. Một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất địnhCó thể nói với phương pháp hệ số bất định ta có thể giải quyết được một lớp các bất đẳng thức mà ở đó các biến độc lập với nhau. Dưới đây là một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định.
Lời giải Ở đây ta cần tìm m để bất đẳng thức dưới là đúng $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}=\frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{1}{3}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow -\frac{a\left( a-1 \right)}{3\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)}\le m\left( a-1 \right)$ Tương tự như trên ta dự đoán rằng với $ \displaystyle m=-\frac{1}{9}$thì bất đẳng thức phụ đúng. Thật vậy $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{4}{9}-\frac{a}{9}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 3-a \right)}{3\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( b+c \right)}{3\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)}$ Hoàn toàn tương tự ta được $ \displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}\le \frac{4}{9}-\frac{b}{9};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le \frac{4}{9}-\frac{c}{9}$ Cộng theo về các bất đẳng thức trên ta được $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}+\frac{1}{{{b}^{2}}+c+a}+\frac{1}{{{c}^{2}}+a+b}\le \frac{4}{3}-\frac{a+b+c}{9}=1$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại $ a=b=c=1$.
Lời giải Ta cần tìm hệ số m sao cho $ \displaystyle \frac{4}{a}+5{{a}^{2}}\ge 9+m\left( {{a}^{3}}-1 \right)\Leftrightarrow \frac{\left( a-1 \right)\left( 5{{a}^{2}}+5a-4 \right)}{a}\ge m\left( a-1 \right)\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)$ Ta dễ dàng nhận ra đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi$ \displaystyle a=b=c=1$. Khi cho $ \displaystyle a=1$thì ta có thể dự đoán rằng $ \displaystyle m=2$. Ta sẽ chứng minh rằng với $ \displaystyle m=2$thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậy $ \displaystyle \frac{4}{a}+5{{a}^{2}}\ge 7+2{{a}^{3}}\Leftrightarrow \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( -2{{a}^{2}}+a+4 \right)}{a}\ge 0$ Do $ \displaystyle a\le \sqrt[3]{3}\Rightarrow -2{{a}^{2}}+a+4\ge 0$. Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng. Hoàn toàn tương tự ta được $ \displaystyle \frac{4}{b}+5{{b}^{2}}\ge 7+2{{b}^{3}};\,\,\frac{4}{c}+5{{c}^{2}}\ge 7+2{{c}^{3}}$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $ \displaystyle 4\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)+5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 21+2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)=27$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi$ \displaystyle a=b=c=1$
Lời giải Ta cần tìm hệ số m sao cho $ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{4a}{3}\ge m\left( {{a}^{2}}-1 \right)+\frac{7}{3}\Leftrightarrow 3m{{a}^{3}}-4{{a}^{2}}+\left( 7-3m \right)a-3\le 0$ Dự đoán là đẳng thức xẩy ra tại $ \displaystyle a=b=c=1$, khi đó ta tìm được $ \displaystyle m=\frac{1}{6}$. Như vậy ta đi chứng minh bất đẳng thức $ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{4a}{3}\ge \frac{1}{6}\left( {{a}^{2}}-1 \right)+\frac{7}{3}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 6-a \right)\ge 0$ Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì từ $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$ta được $ \displaystyle 0<a,\,\,b,\,\,c<\sqrt{3}$. Hoàn toàn tương tự ta được $ \displaystyle \frac{1}{b}+\frac{4b}{3}\ge \frac{1}{6}\left( {{b}^{2}}-1 \right)+\frac{7}{3};\,\,\frac{1}{c}+\frac{4c}{3}\ge \frac{1}{6}\left( {{c}^{2}}-1 \right)+\frac{7}{3}$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{4\left( a+b+c \right)}{3}\ge 7$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Lời giải Biểu thức P xác định khi và chỉ khi $ \displaystyle a,\,\,b,\,\,c\ge \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại $ \displaystyle a=b=c=1$. Khi đó ta đi tìm m để bất đẳng thức sau đúng $ \displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}+a-1}\le ma-\frac{1}{2}$ Để ý đẳng thức xẩy ra tại $ \displaystyle a=1$khi đó ta tìm được $ \displaystyle m=\frac{3}{2}$, tức là ta cần phải chứng minh được $ \displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}+a-1}\le \frac{3a-1}{2}$ Thật vậy ta có$ \displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}+a-1}=\sqrt{\frac{{{\left( 3a-1 \right)}^{2}}-5{{\left( a-1 \right)}^{2}}}{4}}\le \sqrt{\frac{{{\left( 3a-1 \right)}^{2}}}{4}}=\frac{3a-1}{2}$ Chứng minh tương tự ta được $ \sqrt{{{b}^{2}}+b-1}\le \frac{3b-1}{2};\,\,\,\sqrt{{{c}^{2}}+c-1}\le \frac{3c-1}{2}$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c=1$.
Lời giải Vì a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ \displaystyle a+b+c=3$. Do đó ta được $ \displaystyle a,\,\,b,\,\,c\in \left( 0;\,\,3 \right)$. Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại $ \displaystyle a=b=c=1$. Ta cần tìm m để bất đẳng thức sau đúng $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le ma+\frac{4}{9}$ Để ý là đẳng thức xẩy ra tại $ \displaystyle a=1$, khi đó ta tìm được$ \displaystyle m=-\frac{1}{9}$ Khi đó ta đi chứng minh$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le -\frac{a}{9}+\frac{4}{9}$ Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{4-a}{9}\Leftrightarrow \left( 4-a \right)\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)\ge 9\Leftrightarrow \left( a-3 \right){{\left( a-1 \right)}^{2}}\ge 0$ Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì $ \displaystyle a\in \left( 0;\,\,3 \right)$. Chứng minh tương tự ta được$ \displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}\le \frac{4-b}{9};\,\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le \frac{4-c}{9}$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}+\frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}+\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le \frac{12-\left( a+b+c \right)}{9}=1$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c=1$.
Lời giải Từ giả thiết $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$, ta được $ \displaystyle \frac{a}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{a}{1-{{a}^{2}}}+\frac{b}{1-{{b}^{2}}}+\frac{c}{1-{{c}^{2}}}$ Xét$ \displaystyle \frac{a}{1-{{a}^{2}}}-\frac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}=\frac{2a-3\sqrt{3}{{a}^{2}}\left( 1-{{a}^{2}} \right)}{2\left( 1-{{a}^{2}} \right)}=\frac{a\left( \sqrt{3}a+2 \right){{\left( \sqrt{3}a-1 \right)}^{2}}}{2\left( 1-{{a}^{2}} \right)}\ge 0$ Từ đó suy ra $ \displaystyle \frac{a}{1-{{a}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}$, chứng minh tương tự ta được $ \displaystyle \frac{b}{1-{{b}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}{{b}^{2}};\,\,\,\frac{c}{1-{{c}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}{{c}^{2}}$ Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được $ \displaystyle \frac{a}{1-{{a}^{2}}}+\frac{b}{1-{{b}^{2}}}+\frac{c}{1-{{c}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi $ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$. 3. Kĩthuật đổi biến vàphương pháp hệ số bất địnhBây giờ chúng ta sẽ bước sang một khoảng không gian mới với lớp bất đẳng thức đối xứng ba biến và kĩ thuật đổi biến theo hướng chuẩn hóa kết hợp với phương pháp hệ số bất định.
Lời giải Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho $ \displaystyle a+b+c$. Khi đó ta đặt $ \displaystyle x=\frac{3a}{a+b+c};\,\,y=\frac{3b}{a+b+c};\,\,z=\frac{3c}{a+b+c}$thì được $ \displaystyle x+y+z=3$. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $ \displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge \frac{3}{2}$ Bài toán trên tương đương với bài toán: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ \displaystyle a+b+c=3$. Chứng minh rằng$ \displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$ Cách đổi biến như trên ta gọi là chuẩn hóa. Bài toán qui về việc chứng minh $ \displaystyle \frac{a}{3-a}+\frac{b}{3-b}+\frac{c}{3-c}\ge \frac{3}{2}$ Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức đúng $ \displaystyle \frac{a}{3-a}\ge \frac{1}{2}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow \frac{3\left( a-1 \right)}{2\left( 3-a \right)}\ge m\left( a-1 \right)$ Dễ dàng dự đoán $ \displaystyle m=\frac{3}{4}$. Ta chứng minh bất đẳng thức với m như vậy thì luôn đúng $ \displaystyle \frac{a}{3-a}\ge \frac{3a-1}{4}\Leftrightarrow \frac{3{{\left( a-1 \right)}^{2}}}{4\left( 3-a \right)}\ge 0$ Điều này hiển nhiên đúng. Hoàn toàn tương tự ta được$ \displaystyle \frac{b}{3-b}\ge \frac{3b-1}{4};\,\,\frac{cb}{3-c}\ge \frac{3c-1}{4}$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được$ \displaystyle \frac{a}{3-a}+\frac{b}{3-b}+\frac{c}{3-c}\ge \frac{3}{2}$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Lời giải Tương tự như bài toán trên ta có thể chọn $ \displaystyle a+b+c=3$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $ \displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}+\frac{2{{\left( 3-2b \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}-2b+3}+\frac{2{{\left( 3-2c \right)}^{2}}}{{{c}^{2}}-2c+3}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ Ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức sau là đúng $ \displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}\ge {{a}^{2}}+m\left( a-1 \right)$ Ta lại có $ \displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}-{{a}^{2}}=-\frac{\left( a-1 \right)\left( a+3 \right)\left( {{a}^{2}}-4a+6 \right)}{{{a}^{2}}-2a+3}$ Từ đây dễ dàng dự đoán với $ \displaystyle m=-6$thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậy $ \displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}\ge {{a}^{2}}-6\left( a-1 \right)\Leftrightarrow \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 6-a \right)a}{{{a}^{2}}-2a+3}\ge 0$ Điều này hiển nhiên đúng do$ \displaystyle a\in (0,3)$. Hoàn toàn tương tự ta được $ \displaystyle \frac{2{{\left( 3-2b \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}-2b+3}\ge {{b}^{2}}-6\left( b-1 \right);\,\,\frac{2{{\left( 3-2c \right)}^{2}}}{{{c}^{2}}-2c+3}\ge {{c}^{2}}-6\left( c-1 \right)$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $ \displaystyle \frac{2{{\left( 3-2a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}-2a+3}+\frac{2{{\left( 3-2b \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}-2b+3}+\frac{2{{\left( 3-2c \right)}^{2}}}{{{c}^{2}}-2c+3}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c$.
Lời giải Tương tự như bài toán trên ta có thể chọn $ \displaystyle a+b+c=3$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $ \displaystyle \frac{a\left( 3-a \right)}{9-6a+2{{a}^{2}}}+\frac{b\left( 3-b \right)}{9-6b+2{{b}^{2}}}+\frac{c\left( 3-c \right)}{9-6c+2{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}$ Tương tự như trên ta dễ dàng tìm ra bất đẳng thức phụ sau: $ \displaystyle \frac{a\left( 3-a \right)}{9-6a+2{{a}^{2}}}\le \frac{21+9a}{25}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 18a+9 \right)}{25\left( 9-6a+2{{a}^{2}} \right)}$ Tưng tự ta được$ \displaystyle \frac{b\left( 3-b \right)}{9-6b+2{{b}^{2}}}\le \frac{21+9b}{25};\,\,\frac{c\left( 3-c \right)}{9-6c+2{{c}^{2}}}\le \frac{21+9c}{25}$ Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $ \displaystyle \frac{a\left( 3-a \right)}{9-6a+2{{a}^{2}}}+\frac{b\left( 3-b \right)}{9-6b+2{{b}^{2}}}+\frac{c\left( 3-c \right)}{9-6c+2{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}$ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c$. Qua những gì vừa đọc chắc hẳn các em đã hiểu thêm phần nào về phương pháp hệ số bất định phải không. Chúc các em học tốt. Tải tài liệu về để xem chi tiết. Tin tức - Tags: bất đẳng thức, bđt, hệ số bất định
|
