Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay
Show
Trang trước Trang sau Quảng cáo
* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay Muốn chứng minh đương thẳng d ⊥ (α) ta có thể dùng môt trong hai cách sau. Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong (α) . Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với (α) . Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P). * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc - Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: + Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a. + Sử dụng định lí ba đường vuông góc. + Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai? A. SA ⊥ BC B. AH ⊥ BC C. AH ⊥ AC D. AH ⊥ SC Hướng dẫn giải Chọn C Vậy câu C sai. Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Hướng dẫn giải  Chọn A Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB ⊥ (ABC) B. AB ⊥ BD C. AB ⊥ (ABD) D. BC ⊥ AD Hướng dẫn giải Chọn D Gọi E là trung điểm của BC. Tam giác DCB cân tại D có DE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DE ⊥ BC. Tam giác ABC cân tại A có AE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : AE ⊥ BC Khi đó ta có Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Hướng dẫn giải Có AB ⊥ BC ⇒ ΔABC là tam giác vuông tại B Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ Mặt khác Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng Chọn D Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai? A. SO ⊥ (ABCD) B. CD ⊥ (SBD) C. AB ⊥ (SAC) D. CD ⊥ AC Hướng dẫn giải Chọn B Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ AC . Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ BD . Từ đó suy ra SO ⊥ (ABCD) . Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD. Do đó CD không vuông góc với (SBD) Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AE, AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ? Quảng cáo
Hướng dẫn giải Ta chứng minh phương án D đúng. Chọn D Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai? A. CH ⊥ SAB. CH ⊥ SBC. CH ⊥ AKD. AK ⊥ SB Hướng dẫn giải Chọn D Do tam giác ABC cân tại C; có CH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên CH ⊥ AB. Lại có: CH ⊥ SA (vì SA vuông góc với mp(ABC)) . Suy ra CH ⊥ (SAB). Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai. Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD) . Biết H là trực tâm tam giac BCD. Khẳng định nào sau đây đúng? A. CD ⊥ BDB. AC = BDC. AB = CD.D. AB ⊥ CD Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Ví dụ 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA= SB= SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC) . Đối với tam giác ABC ta có điểm H là: A. Trực tâm. B. Tâm đường tròn nội tiếp. C. Trọng tâm. D. Tâm đường tròn ngoại tiếp. Hướng dẫn giải Ví dụ 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mp(ABC) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau: A. H là trực tâm tam giác ABC B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C. D. CH là đường cao của tam giác ABC . Hướng dẫn giải + Ta có OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC và OH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ AH. Tương tự, ta có AB ⊥ CH Hai đường thẳng AH và CH cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC suy ra đáp án A, D đúng + Gọi I là giao điểm của AH và BC . Ta có ; OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ OI Xét tam giác vuông OAI có đường cao OH Ta có suy ra đáp án C đúng. Chọn đáp án B
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp ( ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. I là trung điểm AB B. I là trọng tâm tam giác ABC C. I là trung điểm AC D. I là trung điểm BC Hướng dẫn giải Gọi SA = SB = SC = a + Ta có : tam giác SAC đều nên AC = SA = a Tam giác SAB vuông cân tại S ⇒ AB = a√2 + Gọi I là trung điểm của BC thì IA = IB = IC nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có : SA = SB = SC và IA = IB = IC ⇒ SI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ SI ⊥ (ABC) Vậy nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) Chọn D Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(BCD) . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. H là trực tâm tam giác BCD B. CD ⊥ (ABH) C. AD ⊥ BC D. Các khẳng định trên đều sai.
Ta có Tương tự BD ⊥ CH Suy ra H là trực tâm tam giác BCD. Suy ra loại đáp án A, B Ta có Chọn đáp án D Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau? A. BC ⊥ (SAH)B. HK ⊥ (SBC) C. BC ⊥ (SAB)D. SH, AK và BC đồng quy
Ta có BC ⊥ SA, BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SAH) Ta có CK ⊥ AB, CK ⊥ SA ⇒ CK ⊥ (SAB) hay CK ⊥ SB Mặt khác có CH ⊥ SB nên suy ra SB ⊥ (CHK) hay SB ⊥ HK, tương tự SC ⊥ HK nên HK ⊥ (SBC) Gọi M là giao điểm của SH và BC. Do BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ AM hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK ⇒ SH, AK và BC đồng quy Do dó BC ⊥ (SAB). Sai Chọn đáp án C Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là sai?. A. SO ⊥ (ABCD) B. SO ⊥ AC C. SO ⊥ BD D. Cả A, B, C đều sai
Ta có O là trung điểm của AC và SA = SC ⇒ SO ⊥ AC Tương tự SO ⊥ BD Vậy Chọn D Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. SA ⊥ BDB. SC ⊥ BDC. SO ⊥ BDD. AD ⊥ SC
Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC mà SA ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC) hay BD ⊥ SC, BD ⊥ SO Chọn đáp án D Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai? A. (IJK) // (SAC) B. BD ⊥ (IJK) C. Góc giữa SC và BD có số đo 60° D. BD ⊥ (SAC)
Chọn C. + Tam giác ABC có IJ Là đường trung bình của tam giác nên IJ // AC Tam giác SAB có IK là đường trung bình của tam giác nên IK // SA ⇒ (IJK) // (SAC). Vậy A đúng + Do BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC) nên D đúng. + Do BD ⊥ (SAC) và (IJK) // (SAC) nên BD ⊥ (IJK) nên B đúng. Vậy C sai Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và SH ⊥ (ABCD). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Khẳng định nào sau đây là sai? A. AC ⊥ SH B. AC ⊥ KH C. AC ⊥ (SHK) D. Cả A, B, C đều sai
+ Ta cos SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AC + Tam giác ABD có H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ⇒ HK // BD Lại có ⇒ AC ⊥ (SHK) Chọn D Câu 7: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
Xét tam giác AOI vuông tại O có OH đường cao: Từ (1) và (2) ⇒ H là trực tâm tam giác ABC ⇒ Đáp án C đúng. Chọn đáp án D. Câu 8: Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A, B ; C ; D. A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B. O là trọng tâm tam giác ACD C. O là trung điểm cạnh BD D. O là trung điểm cạnh AD
Chọn D Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD). Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây không sai? A. AB = CDB. AC = BDC. AB ⊥ CDD. CD ⊥ BB
Chọn C Do AH ⊥ (BCD) ⇒ AH ⊥ CD . Mặt khác, H là trực tâm tam giác BCD nên BH ⊥ CD Suy ra CD ⊥ (ABH) nên CD ⊥ AB. Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Khẳng định nào sau đây là sai?. A. SH ⊥ (ABCD) B. SH ⊥ HC C. A, B đều đúng D. A, B là sai
Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. ( A’BD)B. ( A’DC’)C. ( A’CD’)D. ( A’B’CD)
Ta có Vậy chọn đáp án A Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA = SC. Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. SA ⊥ (ABCD)B. BD ⊥ (SAC) C. AC ⊥ (SBD)D. AB ⊥ (SAC)
Ta có: SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân Mặt khác: O là trung điểm của AC (tính chất hình thoi) Khi đó ta có: AC ⊥ SO Vậy chọn đáp án C Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. AK ⊥ HKB. HK ⊥ AMC. BD // KH D. AH ⊥ SB .
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. I là trung điểm AB B. I là trọng tâm tam giác ABC C. I là trung điểm AC D. I là trung điểm BC
Gọi SA = SB = SC = a Ta có: tam giác SAC cân có 1 góc bằng 60° nên tam giác SAC đều ⇒ AC = SA = a + tam giác SAB vuông cân tại S ⇒ AB = a√2 ⇒ AC2 + AB2 = BC2 nên tam giác ABC vuông tại A + Gọi I là trung điểm của AC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là trục của tam giác ABC thì d đi qua I và d ⊥ (ABC) Mặt khác : SA = SB = SC nên S ∈ d . Vậy SI ⊥ (ABC) nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) Chọn C Câu 15: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ( ABC) . Xét các mệnh đề sau : I. Vì OC ⊥ OA, OC ⊥ OB nên OC ⊥ (OAB) II. Do AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OC (1) III. Có OH ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OH(2) IV. Từ (1) và (2) AB ⊥ (OCH) Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng ? A. I, II, III, IV B. I, II, III C. II, III, IV D. I, IV
Ta có: Chọn đáp án A Câu 16: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Có đáy là hình thoi ∠BAD = 60° và AA’ = A’B = A’D. Gọi O = AC ∩ BD. Hình chiếu của A’ trên (ABCD) là : A. trung điểm của AO B. trọng tâm tam giác ABD C. giao của hai đoạn AC và BD D. trọng tâm tam giác BCD.
Vì A’A = A’B = A’D nên hình chiếu của A’ trên ( ABCD) trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (1). Mà tứ giá ABCD là hình thoi và ∠BAD = 60° nên tam giác BAD là tam giác đều (2) Từ (1) và ( 2) suy ra H là trọng tâm tam giác ABD Chọn đáp án B
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau 6 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gianby HOCTOAN24H · 01/04/2017 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian là một trong những bài toán cơ bản trong quan hệ vuông góc. Hôm nay thầy muốn chia sẻ với các bạn một số cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Xem thêm bài giảng hay:
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhauCho hai đường thẳng a và b lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là $\vec{u}$ và $\vec{v}$. Ta áp dụng một số cách sau:
* $cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ Hệ quả này có ý nghĩa rất quan trọng: “Trong một tam giác ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh”. Để các bạn rõ hơn thì thầy sẽ chép luôn định lý cosin cho các bạn xem nhé:
“Trong một tam giác, ta luôn tính được cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh và góc xen giữa“. Với 6 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ở trên các bạn thỏa sức để vận dụng làm bài tập nhé. Tuy nhiên không phải bài nào cũng sử dụng được 6 cách ở trên, tùy vào từng tình huống cụ thể mà áp dụng sao cho hợp lý. Thông thường thì cách số 3, số 4 và số 5 là hay được sử dụng vào bài tập chứng minh 2 đường thẳng vuông góc. Bài tập chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
Hướng dẫn: Với bài toán này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo 2 cách: Cách 1: Gọi I là trung điểm của CD. Vì ABCD là tứ diện đều, suy ra BCD, ACD là các tam giác đều. Từ đó ta có: $AI \bot CD$ và $BI \bot CD$ mà AI, BI thuộc (ABI) => $CD \bot (ABI)$ Lại có $AO \subset (ABI)$ => $CD \bot AO$ (đfcm) Ở cách này thầy đã sử dụng cách chứng minh số 5 trong lý thuyết. Cách 2: Xét tích $\vec{AO}.\vec{CD}$ Ta có:$\vec{AO}.\vec{CD} = (\vec{AI}+\vec{IO}).\vec{CD}$ $=(\vec{AI}.\vec{CD}+\vec{IO}.\vec{CD}) = 0+0=0$ =>$CD \bot AO$ (đfcm) (vì $AI \bot CD $ => $\vec{AI}.\vec{CD}=0$ và$IO \bot CD $ => $\vec{IO}.\vec{CD}=0$) Ở cách này thầy đã sử dụng cách chứng minh số 4 trong lý thuyết.
Hướng dẫn: Trong bài toán này các bạn để ý thấy rằng để tính góc giữa 2 đường thẳng CD và IJ ta sẽ đi tính góc giữa 2 đường thẳng IK và IJ (vì IK//CD). Lại tiếp tục dự đoán, với những bài toán tính góc như này sẽ rất hay rơi vào kết quả là góc giữa 2 đường thẳng bằng $90^0$, tức là hai đường thẳng vuông góc. Do đó từ dự đoán này ta sẽ theo hướng chứng minh 2 đường thẳng vuông góc. Còn nếu không có hướng dự đoán như trên thì các bạn sẽ đi tính góc giữa 2 đường thẳng theo cách số 3 hoặc cách số 6 trong lý thuyết ở trên. Tuy nhiên bài này cho những đoạn thẳng tỉ lệ vậy ta sẽ có hướng sử dụng hệ quả định lý cosin.(cách số 6 –biết các cạnh của tam giác) a. Tìm góc giữa đường thẳng CD và đường thẳng IJ. Đặt $AB=a$ => $CD=\frac{4}{3}a$; $JK=\frac{5}{6}a$; $IJ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$; $IK=\frac{1}{2}CD=\frac{2}{3}a$ Cách 1:Dự đoán góc $\widehat{JIK}=90^0$ ta xét: $IJ^2+IK^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{4}{9}a^2=\frac{25}{36}a^2$ (1) $JK^2=(\frac{5}{6}a)^2$ (2) Từ (1) và (2) =>$IJ^2+IK^2=JK^2$ Theo định lý đảo của định lý Pitago => tam giác IJK vuông tại I => $IJ \bot IK$ mà $CD//IK$ =>$IJ \bot CD$ Cách 2:Áp dụng hệ quả của định lý hàm số cosin trong tam giác IJK có: $cos(\widehat{JIK})=\frac{IJ^2+IK^2-JK^2}{2.IJ.JK}$ $\Leftrightarrow cos(\widehat{JIK})=\frac{\frac{1}{4}a^2+\frac{4}{9}a^2-\frac{25}{36}a^2}{2.\frac{1}{2}a.\frac{2}{3}a}$ $\Leftrightarrow cos(\widehat{JIK})=\frac{0.a^2}{\frac{2}{3}a^2}=0$ $\Leftrightarrow cos(\widehat{JIK})=0$ => $\widehat{JIK}=90^0$ Hay $IJ \bot IK$ => $IJ \bot CD$ (đfcm) b.Đường thẳng CD và đường thẳng AB:ý này dễ rồi các bạn tự giải tiếp nhé. Bài giảng trên là chia sẻ của thầy về 6 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Còn bài tập thì không thể đi hết hướng dẫn hết 6 cách được. Trong quá trình viết bài có thể còn có những sai sót, mong các bạn góp ý thêm. Nếu bạn nào có thêm cách nào nữa thì bổ sung trong khung bình luận bên dưới nhé. SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ A. Lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng1. Mối quan hệ giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (β)
2. Điều kiệnNếu trong mặt phẳng (β) có hai đường thẳng Δ1, Δ2 cắt nhauvà một đường thẳng Δ đồng thời vuông góc với Δ1, Δ2 thì Δ (β) Xem thêm: [8+] Thể tích hình nón, diện tích xung quanh hình nón, diện tích toàn phần hình nón 3. Tính chất
Hướng dẫn cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳngCách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cách dựng một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước là bài toán quyết định của hình học không gian lớp 11, và cũng là cơ sở để giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện ở lớp 12. Xem thêmCách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng |
