 Show
Khoảng tin cậy là một dãy giá trị mà trong đó các tham số của tổng thể như số trung bình ((), tỉ lệ (p) và phương sai ((2) cần được ước lượng nằm trong khoảng này. Ứơc lượng khoảng tin cậy là một hình thức dự báo trong thống kê, một chỉ tiêu kinh tế nào đó có thể được ước lượng tại một điểm nào đó (dự báo điểm) hay nằm trong một khoảng nào đó (dự báo khoảng) với độ tin cậy cho trước. Ví dụ: Với độ tin cậy 90%, một mẫu gồm 16 quan sát có trung bình từ một tổng thể có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn s = 6 thì trung bình tổng thể ( có giá trị trong khoảng từ 17,4675 đến 22,5325. Khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể được ước lượng dựa vào giá trị được quan sát của trung bình mẫu. Ðặt ( là một tham số chưa biết của tổng thể. Giả sử rằng chúng ta dựa vào thông tin của mẫu quan sát, tìm những biến ngẫu nhiên A và B sao cho: P ( A < q < B ) = 1 - trong đó (1 - () là độ tin cậy (level of confidence) và 100 (1 - ()% là khoảng tin cậy cho (, khoảng này sẽ chứa các tham số của tổng thể. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ (khi biết phương sai s2 ) Giả sử rằng chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát từ một phân phối chuẩn với trung bình ( và phương sai (2, và trung bình mẫu là Ġ. Một khoảng tin cậy 100 (1- ()% cho trung bình tổng thể ( được xác định như sau: Trong đóĠ là một số sao cho P ( Z ľ) = P ( Z < ĭ) Ľ và biến ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn tắc:Ġ Các ước tính khoảng tin cậy giúp chúng ta biết được mức độ chắc chắn của thông tin mà chúng ta thu thập và phân tích. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách ước lượng khoảng tin cậy trung bình cho một số tham số thống kê quan trọng, bao gồm trung bình, phương sai, và tỷ lệ tổng thể. Xem thêm: ước lượng điểm – Cách tìm và bài tập có lời giải tổng hợp công thức ước lượng khoảng I. Ước lượng khoảng tin cậy cho muy khi đã biết phương sai tổng thểKhoảng tin cậy hai phía(đối xứng) Khoảng bên phải Khoảng bên trái \(\overline{X} – \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}} < \mu < \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}}\) \(\overline{X} – \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha} < \mu < + \infty \) \(– \infty< \mu < \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha}\) Ví dụ 1: Chiều dài một loại súng nước là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn là 3cm. Một người nghiên cứu loại súng này muốn ước tính chiều dài trung bình của các khẩu súng. Bằng cách đo ngẫu nhiên 25 súng khác nhau, thu được chiều dài trung bình là 13,5cm.
Giải a. b. c. Bài 2: Đường kính của một loại bưởi là biến ngẫu nhiên có phương sai 9cm2. Đo ngẫu nhiên 50 trái thấy đường kính trung bình đạt 20cm. Với độ tin cậy 95%, đường kính trung bình của loại bưởi này tối thiểu bao nhiêu? Giải II. Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bìnhKhoảng tin cậy hai phía(đối xứng) Khoảng bên phải Khoảng bên trái \(\overline{X} – \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}{n-1} < \mu < \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}{n-1}\) \(\overline{X} – \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}{n-1} < \mu\) \(\mu < \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha}{n-1}\) Cách giải bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị trung bìnhVí dụ 1: Cân 40 bao vật liệu xây dựng thấy trung bình mẫu bằng 50kg và độ lệch chuẩn mẫu bằng 0,4kg. Biết rằng trọng lượng bao vật liệu là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Giải a. b. c. III. Ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai tổng thểKhoảng tin cậy hai phía(đối xứng) Khoảng bên phải Khoảng bên trái \(\frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}{2(n-1)}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)S{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}{2(n-1)}}\) \(\frac{(n-1)S{2}}{\chi_{\alpha}{2(n-1)}} < \sigma^2\) \(0 < \sigma^2 < \frac{(n-1)S{2}}{\chi_{1-\alpha}^{2(n-1)}}\) Bài tập về ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai tổng thểVí dụ 2: Cân 40 bao vật liệu xây dựng thấy trung bình mẫu bằng 50kg và độ lệch chuẩn mẫu bằng 0,4kg. Biết rằng trọng lượng bao vật liệu là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Ước lượng độ phân tán tối đa về trọng lượng của bao vật liệu với độ tin cậy 99%. Giải IV. Ước lượng khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thểKhoảng tin cậy hai phía(đối xứng) Khoảng bên phải Khoảng bên trái \(f-\frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}} < p < f+\frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}}\) \(f-\frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}z_{\alpha} < p\) \(p < f+\frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}z_{\alpha}\) Bài tập ước lượng khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thểVí dụ 1: Điều tra ngẫu nhiên 200 trẻ e ở một khu vực thấy có 146 trẻ đã tiêm phòng tại trạm y tế của khu vực.
Giải a. b. c. Hy vọng rằng thông qua bài viết này, bạn đã nắm được cách làm bài tập ước tính khoảng tin cậy trung bình cho các tham số thống kê quan trọng như trung bình, phương sai, và tỷ lệ tổng thể môn xác suất thống kê. Cảm ơn các bạn đã tham khảo trên ttnguyen.net. |
