Nghiệm của 1 phương trình là gì

Câu hỏi đặt ra là: Phương trình một ẩn là gì? Giải phương trình là tìm điều gì? Phương trình tương đương với nhau khi nào? Tât cả những câu hỏi này sẽ được giải đáp trong bài viết dưới đây.

• Bài tập mở đầu về phương trình, PT một ẩn, PT tương đương

1. Phương trình một ẩn

¤ Phương trình một ẩn là gì?

- Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

- Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn x thoả mãn (hay nghiệm đúng) phương trình.

> Chú ý:

i) Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó.

ii) Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,...nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

* Câu hỏi 1: Hãy cho ví dụ về:

a) Phương trình với ẩn y.

b) Phương trình với ẩn u.

> Lời giải:

a) Phương trình với ẩn y: 6y + 1 = 7

b) Phương trình với ẩn u: 5u - 2 = 3(u+2)

* Câu hỏi 2: Khi x = 6, tính giá trị mỗi vế của phương trình: 2x + 5 = 3(x – 1) + 2.

> Lời giải:

Khi x= 6, ta có:

VT = 2x + 5 = 2.6 + 5 = 12 + 5 = 17

VP = 3(x – 1) + 2 = 3(6 – 1) + 2 = 3.5 + 2 = 15 + 2 = 17.

* Câu hỏi 3: Cho phương trình 2(x + 2) – 7 = 3 – x

a) x = - 2 có thỏa mãn phương trình không?

b) x = 2 có là một nghiệm của phương trình không?

a) Tại x = -2 ta có:

VT = 2(x + 2) – 7 = 2(– 2 + 2) – 7 = 2.0 – 7 = -7

VP = 3 – x = 3 – (– 2) = 5

⇒ VT ≠ VP

Vây x = - 2 không thỏa mãn phương trình

b)Tại x = 2 ta có:

VT = 2(2 + 2) – 7 = 2.4 – 7 = 8 – 7 = 1

VP = 3 – x = 3 – 2 = 1

⇒ VT = VP

Vậy x = 2 có là một nghiệm của phương trình

2. Giải phương trình

¤ Giải phương trình là gì? giải phương trình là tìm điều gì?

- Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình.

- Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó. Tập hợp các nghiệm của phương trình kí hiệu là S.

Phương trình có nghiệm là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm như nào? Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập về phương trình có nghiệm? Trong bài viết sau, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề phương trình có nghiệm là gì cũng như điều kiện giúp phương trình có nghiệm nhé!

Mục lục

• 1 Phương trình có nghiệm là gì?
  • 1.1 Định nghĩa phương trình có nghiệm
  • 1.2 Công thức tổng quát
• 2 Điều kiện để phương trình có nghiệm
  • 2.1 Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm
  • 2.2 Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm
  • 2.3 Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm
• 3 Các dạng toán điều kiện phương trình có nghiệm
  • 3.1 Dạng 1: Tìm điều kiện để cho phương trình có nghiệm
  • 3.2 Dạng 2: Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2
  • 3.3 Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Phương trình có nghiệm là gì?

Định nghĩa phương trình có nghiệm

• Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng:

\(f(x_{1}, x_{2},…) = g(x_{1}, x_{2},…)\)     (1)

\(h(x_{1}, x_{2},…) = f(x_{1}, x_{2},…) – g(x_{1}, x_{2},…)\)     (2)

\(h(x_{1}, x_{2},…) = 0\)     (3)

\(ax^{2} + bx + c = 0\)     (4)

Trong đó \(x_{1}, x_{2}\),… được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình (1) có \(f(x_1,x_2,…)\) là vế trái, \(g(x_1,x_2,…)\) là vế phải.

Ở (4) ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến.

• Nghiệm của phương trình là bộ \(x_{1}, x_{2},…\) tương ứng sao cho khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau.

Công thức tổng quát

• Phương trình \(f(x) = 0\) có a đươcj gọi là nghiêm của phương trình khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} x = a\\ f(a) = 0 \end{matrix}\right.\), điều này định nghĩa tương tự với các phương trình khác như \(f(x,y,z,..) = 0, a\in S \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = a\\ y = b\\ z = c\\ f(a,b,c) = 0 \end{matrix}\right.\)
• Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu: \(S = \left \{ x,y,z,…\left. \right \}\right.\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm

Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm

• Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc 2 \(ax^{2} + bx + c = 0 (a\neq 0)\) có nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thì \(S = x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}; P=x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}\)

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2:

• Có 2 nghiệm dương là: \(\Delta \geq 0; P> 0; S> 0\)
• Có 2 nghiệm âm là: \(\Delta \geq 0; P> 0; S< 0\)
• Có 2 nghiệm trái dấu là: \(\Delta \geq 0; P< 0\)

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm

• Cho hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} ax + by = c (d) (a^{2} + b^{2} \neq 0)\\ a’x + b’y = c’ (d’) (a’^{2} + b'{2} \neq 0) \end{matrix}\right.\)
• Hệ phương trình có một nghiệm \(\Leftrightarrow\) (d) cắt (d’) \(\Leftrightarrow \frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’} (a’,b’\neq 0)\)
• Hệ phương trình có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\) (d) trùng (d’) \(\Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} (a’,b’, c’\neq 0)\)
• Hệ phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow (d)\parallel (d’) \Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’} (a’,b’,c’ \neq 0)\)

Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm

• Phương trình \(\sin x = m\)
• Phương trình có nghiệm nếu \(\left | m \right |\leq -1\). Khi đó ta chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(\sin \alpha = m\) thì nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\)
• Phương trình \(\cos x = m\)
• Phương trình có nghiệm nếu \(\left | m \right |\leq -1\). Khi đó ta chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha = m\) thì nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\)
• Phương trình \(\tan x = m\)
• Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\tan x = m\). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
• Phương trình \(\csc x = m\)
• Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\csc \alpha = m\). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Các dạng toán điều kiện phương trình có nghiệm

Dạng 1: Tìm điều kiện để cho phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình \(x^{2} – 2(m+3)x + 4m-1 =0\) (1). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

Cách giải:

Phương trình (2) có hai nghiệm dương

\(\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+3)^{2} – (4m-1)\geq 0\\ 4m-1>0\\ 2(m+3)>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+1)^{2} + 9 > 0 \forall m\\ m>\frac{1}{4}\\ m>-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\)

Dạng 2: Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \(x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0\) (1)

Cách giải:

Đặt \(x^{2} = y \geq 0\). Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là phương trình \(y^{2} + my + 2m – 4 = 0\) (3) có ít nhất một nghiệm không âm.

Ta có: \(\Delta = m^{2} – 4(2m-4) = (m-4)^{2} \geq 0\) với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn P = 2m – 4; S = -m

Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm đều âm là:

\(\left\{\begin{matrix} P>0\\ S<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m-4>0\\ -m<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>2\\ m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>2\)

Vậy điều kiện để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm không âm là \(m\leq 2\)

\(\Rightarrow\) phương trình (2) có nghiệm khi \(m\leq 2\)

Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

\(\left\{\begin{matrix} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m – 1 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Từ phương trình thứ nhất ta có \(y = \frac{m+1-mx}{2}\)

Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(2x + m\frac{m+1-mx}{2} = 2m-1\)

\(\Leftrightarrow 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2\)

\(x(m^{2} – 4) = m^{2} – 3m -2 \Leftrightarrow x(m-2)(m+2) = (m – 2)(m – 1)\)

Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm

Nếu \(\left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\) thì \(x = \frac{m-1}{m+2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Thay trở lại phương trình \(y = \frac{m+1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2}\)

\(\left\{\begin{matrix} x = \frac{m-1}{m+2} = 1- \frac{3}{m+2}\\ y = \frac{2m+1}{m+2} = 2-\frac{3}{m+2} \end{matrix}\right.\)

Ta cần tìm \(m\in \mathbb{Z}\) sao cho \(x,y\in \mathbb{Z}\)

Nhìn vào công thức nghiệm ta có: \(\frac{3}{m + 2}\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 2\in \left \{ -1,1,3,-3\right \} \Leftrightarrow m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\)

Các giá trị này thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} m \neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hy vọng sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!

Nghiệm là như thế nào?

Thế nào là một phương trình?